Os balanços de energia dinâmicos para um aquecedor de tanque agitado são escritos subtraindo o balanço em estado estacionário do balanço transiente. Para um tanque de volume constante, bem misturado, com fluxo e propriedades constantes, o modelo de temperatura torna-se

[ \frac{dT'}{dt}+aT'=\frac{1}{\tau}T_i'+KT_{st}' ]

onde (T'), (T_i') e (T_{st}') são os desvios da temperatura do tanque, da temperatura de entrada e da entrada de aquecimento em relação aos seus valores nominais de estado estacionário. Esta forma isola apenas as mudanças dinâmicas que importam para a análise de resposta e o projeto de controle.

Conceito principal: Defina cada variável como seu desvio em relação a um ponto de operação de estado estacionário, substitua essas definições no balanço de energia dinâmico e use a equação de estado estacionário para cancelar os termos constantes. O modelo de desvio resultante descreve o comportamento transiente da temperatura sem carregar os deslocamentos do ponto de operação nominal.

Comece com o Balanço de Energia Transiente

Defina o volume de controle e as premissas

Para um aquecedor de tanque agitado bem misturado, assume-se que a temperatura do líquido é uniforme em todo o tanque. Um modelo comum de planta piloto assume volume de líquido constante (V), vazão volumétrica constante (F), densidade constante (\rho) e capacidade térmica constante (c_p).

Sob essas premissas, a energia cinética, a energia potencial, o trabalho de eixo e os efeitos de mudança de volume são desprezados. Os termos dominantes são o acúmulo de energia, o fluxo de entalpia de entrada e saída e o calor fornecido externamente.

Escreva o balanço de energia dimensional

Para um tanque de líquido não reativo com entrada de calor (Q),

[ \rho c_p V\frac{dT}{dt}

\rho c_p F(T_i-T)+Q ]

onde:

• (T) é a temperatura do líquido no tanque,
• (T_i) é a temperatura de entrada,
• (F) é a vazão volumétrica,
• (V) é o volume de líquido,
• (Q) é a carga térmica do aquecedor.

A temperatura de saída é (T) porque o tanque é perfeitamente misturado.

Coloque o balanço na forma dinâmica padrão

Dividindo por (\rho c_p V) obtém-se

[ \frac{dT}{dt} + \frac{F}{V}T

\frac{F}{V}T_i + \frac{Q}{\rho c_p V} ]

O coeficiente (F/V) é o inverso do tempo de residência. Definindo

[ \tau=\frac{V}{F} ]

obtém-se

[ \frac{dT}{dt} + \frac{1}{\tau}T

\frac{1}{\tau}T_i + \frac{Q}{\rho c_p V} ]

Se a entrada do aquecedor for representada por uma variável (T_{st}), o termo de entrada de calor pode ser escrito como (KT_{st}). O modelo resultante é comumente expresso como

[ \frac{dT}{dt}+aT=\frac{1}{\tau}T_i+KT_{st} ]

onde (a), (1/\tau) e (K) reúnem os parâmetros relevantes de fluxo, volume, capacidade térmica e transferência de calor.

Converta o Modelo para Variáveis de Desvio

Defina o ponto de operação nominal

Sejam as condições de operação em estado estacionário

[ T_s,\qquad T_{i,s},\qquad T_{st,s} ]

No estado estacionário, a temperatura do tanque não muda, portanto

[ \frac{dT_s}{dt}=0 ]

A equação de estado estacionário é, portanto,

[ aT_s=\frac{1}{\tau}T_{i,s}+KT_{st,s} ]

Esta equação descreve o ponto de operação em torno do qual o modelo dinâmico é desenvolvido.

Defina os desvios do estado estacionário

As variáveis de desvio são

[ T'=T-T_s ]

[ T_i'=T_i-T_{i,s} ]

[ T_{st}'=T_{st}-T_{st,s} ]

Equivalentemente,

[ T=T_s+T' ]

[ T_i=T_{i,s}+T_i' ]

[ T_{st}=T_{st,s}+T_{st}' ]

Como (T_s) é constante,

[ \frac{dT}{dt}=\frac{dT'}{dt} ]

Substitua no balanço dinâmico

Começando com

[ \frac{dT}{dt}+aT=\frac{1}{\tau}T_i+KT_{st} ]

a substituição resulta em

[ \frac{dT'}{dt} +a(T_s+T')

\frac{1}{\tau}(T_{i,s}+T_i') + K(T_{st,s}+T_{st}') ]

Reorganizando,

[ \frac{dT'}{dt}+aT' + aT_s

\frac{1}{\tau}T_{i,s} + \frac{1}{\tau}T_i' + KT_{st,s} + KT_{st}' ]

Os termos constantes satisfazem a relação de estado estacionário

[ aT_s=\frac{1}{\tau}T_{i,s}+KT_{st,s} ]

e, portanto, cancelam-se. A equação de variáveis de desvio é

[ \boxed{ \frac{dT'}{dt}+aT'

\frac{1}{\tau}T_i' + KT_{st}' } ]

Este é o balanço de energia dinâmico desejado na forma de desvio.

Interprete o Modelo de Desvio

Separe as entradas manipuladas e as perturbações

A entrada de aquecimento (T_{st}'), ou equivalentemente (Q'), é tipicamente o desvio da variável manipulada. O desvio da temperatura de entrada (T_i') é comumente tratado como uma perturbação.

O desvio da temperatura do tanque (T') é a saída do processo. A equação, portanto, descreve como as mudanças no aquecedor e as perturbações na entrada afetam a temperatura de saída ou do tanque.

Use a forma física de carga térmica quando apropriado

Se a entrada manipulada for a carga do aquecedor em vez da temperatura do meio de aquecimento, defina

[ Q'=Q-Q_s ]

O modelo de desvio de propriedades constantes torna-se

[ \rho c_p V\frac{dT'}{dt}

\rho c_p F(T_i'-T')+Q' ]

ou

[ \boxed{ \frac{dT'}{dt} + \frac{F}{V}T'

\frac{F}{V}T_i' + \frac{Q'}{\rho c_p V} } ]

Esta forma é frequentemente mais transparente para cálculos de plantas piloto porque (Q') tem o significado físico direto de uma mudança na carga do aquecedor.

Reconheça a variável de estado

Para um aquecedor de volume constante, (T') é a principal variável de estado térmico. Se o nível ou volume do líquido mudar significativamente, o balanço de massa também deve ser incluído:

[ A\frac{dh}{dt}=F_i-F ]

e o balanço de energia pode ser escrito como

[ Ah\frac{dT}{dt}

F_i(T_i-T)+\frac{Q}{\rho c_p} ]

Nesse caso, a dinâmica da temperatura está acoplada à dinâmica do nível, e uma única equação de temperatura de primeira ordem pode não ser mais adequada.

Obtenha Funções de Transferência para Análise Dinâmica

Aplique a transformada de Laplace

Tomando a transformada de Laplace de

[ \frac{dT'}{dt}+aT'

\frac{1}{\tau}T_i'+KT_{st}' ]

obtém-se

[ s\bar T'(s)-T'(0)+a\bar T'(s)

\frac{1}{\tau}\bar T_i'(s) + K\bar T_{st}'(s) ]

Com desvio inicial de temperatura zero,

[ T'(0)=0 ]

então

[ (s+a)\bar T'(s)

\frac{1}{\tau}\bar T_i'(s) + K\bar T_{st}'(s) ]

Derive a função de transferência da temperatura de entrada

Definir o desvio do aquecedor como zero resulta em

[ \boxed{ \frac{\bar T'(s)}{\bar T_i'(s)}

\frac{1/\tau}{s+a} } ]

Esta função de transferência descreve a resposta da temperatura do tanque a perturbações na temperatura de entrada.

Derive a função de transferência da entrada do aquecedor

Definir o desvio da temperatura de entrada como zero resulta em

[ \boxed{ \frac{\bar T'(s)}{\bar T_{st}'(s)}

\frac{K}{s+a} } ]

Se a carga do aquecedor (Q') for usada diretamente, a função de transferência correspondente é

[ \boxed{ \frac{\bar T'(s)}{\bar Q'(s)}

\frac{1}{\rho c_p V} \frac{1}{s+F/V} } ]

Essas relações suportam a análise de resposta a degrau, pulso e rampa e fornecem uma base para o projeto de controladores de feedback.

Estenda o Balanço quando o Aquecedor for uma Jaqueta ou Serpentina

Inclua a força motriz de transferência de calor

Se o calor for fornecido através de uma jaqueta ou serpentina, a carga pode ser modelada como

[ Q=UA(T_{st}-T) ]

onde (U) é o coeficiente global de transferência de calor e (A) é a área de transferência de calor.

O balanço de energia transiente torna-se

[ \rho c_p V\frac{dT}{dt}

\rho c_p F(T_i-T) + UA(T_{st}-T) ]

Reorganizando,

[ \frac{dT}{dt} + \left( \frac{F}{V}+\frac{UA}{\rho c_p V} \right)T

\frac{F}{V}T_i + \frac{UA}{\rho c_p V}T_{st} ]

Assim, nesta representação,

[ a=\frac{F}{V}+\frac{UA}{\rho c_p V} ]

e

[ K=\frac{UA}{\rho c_p V} ]

A equação de desvio mantém a mesma estrutura:

[ \frac{dT'}{dt}+aT'

\frac{F}{V}T_i' + \frac{UA}{\rho c_p V}T_{st}' ]

Considere os efeitos de reação quando necessário

Para um tanque agitado com reação, o balanço de energia também deve incluir o calor gerado ou consumido pelas reações. Um balanço de entalpia geral pode ser representado como

[ V\frac{d}{dt} \left(\sum_i C_i\bar H_i\right)

F\left[ \sum_i(C_i\bar H_i)_{\text{in}}

\sum_i C_i\bar H_i \right] +\dot Q ]

O calor de reação pode tornar o balanço não linear, pois as taxas de reação e os calores podem depender da temperatura e da composição.

Um modelo de desvio linear é então obtido linearizando o balanço não linear em torno do estado estacionário escolhido. Os coeficientes na equação de desvio representam sensibilidades locais naquele ponto de operação.

Entendendo as Trocas

Modelos de desvio são modelos locais

A equação de desvio é geralmente precisa perto do estado estacionário selecionado. Grandes mudanças de temperatura, propriedades físicas variáveis, fluxo variável, mudanças de fase ou taxas de reação fortemente dependentes da temperatura podem invalidar a aproximação de coeficiente constante.

Um novo ponto de operação pode exigir uma nova linearização e novos parâmetros de modelo.

O estado estacionário deve ser consistente

O cancelamento de termos constantes funciona apenas quando (T_s), (T_{i,s}) e (T_{st,s}) satisfazem o balanço de energia de estado estacionário real. Se os valores de base forem inconsistentes, termos constantes residuais permanecem na equação de desvio.

Esta é uma fonte comum de erros aparentes de modelagem.

Uma premissa de volume constante pode ocultar efeitos de nível

Se as vazões de entrada e saída diferirem, o nível do tanque muda. Como o volume de líquido determina a capacitância térmica, a dinâmica do nível altera a resposta da temperatura.

Para plantas piloto com controle de nível, o modelo de volume constante é frequentemente apropriado. Durante transientes de nível, no entanto, ambos os balanços de massa e energia devem ser mantidos.

Temperatura do aquecedor e carga do aquecedor não são entradas idênticas

Usar (T_{st}') assume que a temperatura do meio de aquecimento é a entrada selecionada e que a relação de transferência de calor foi incorporada em (K). Usar (Q') trata a carga térmica como a variável manipulada direta.

A escolha correta depende do atuador físico e das medições disponíveis na planta piloto.

Como aplicar isso ao seu projeto

A formulação apropriada depende se a planta piloto está sendo modelada para análise básica de resposta, projeto de controle ou simulação detalhada de equipamentos.

• Se o seu foco principal é a resposta da temperatura a perturbações de entrada: Use (\frac{dT'}{dt}+aT'=\frac{1}{\tau}T_i'+KT_{st}'), tratando (T_i') como a entrada de perturbação.
• Se o seu foco principal é o controle do aquecedor: Use o desvio da carga do aquecedor (Q') e escreva (\frac{dT'}{dt}+\frac{F}{V}T'=\frac{F}{V}T_i'+\frac{Q'}{\rho c_pV}).
• Se o seu foco principal é o projeto de jaqueta ou serpentina: Mantenha (UA) explicitamente para que o modelo mostre como a área e o coeficiente de transferência de calor afetam tanto o ganho quanto o tempo de resposta.
• Se o seu foco principal é o controle conjunto de nível e temperatura: Formule balanços de massa e energia de desvio acoplados com (h') e (T') como variáveis de estado.
• Se o seu foco principal é uma planta piloto com reação: Comece com o balanço de entalpia completo e linearize os termos de reação, transferência de calor e propriedades em torno do ponto de operação.

Um modelo de desvio formulado corretamente transforma o problema do ponto de operação do aquecedor de tanque agitado em uma descrição clara e tratável de como as perturbações e ações de controle alteram a temperatura.

Tabela Resumo:

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