Para o escoamento estacionário e plenamente desenvolvido de duas camadas de líquidos imiscíveis em um canal, as equações governantes reduzem-se a uma equação de momento para cada fase, acopladas por condições de parede e de interface líquido-líquido. Para fluidos newtonianos incompressíveis, a conservação de massa requer um campo de velocidade com divergência nula, enquanto a conservação de momento é descrita pelas equações de Navier-Stokes. Na aproximação comum de placas paralelas, a velocidade axial em cada fase é quadrática ao longo do canal, e as constantes de integração são determinadas pela condição de não deslizamento nas paredes, somada à continuidade de velocidade e de tensão de cisalhamento na interface.

Os perfis de velocidade são governados por balanços de momento impulsionados pelo gradiente de pressão em cada fase. O contraste de viscosidade afeta o perfil através das equações de momento específicas de cada fase, enquanto as condições de interface impõem um movimento fisicamente consistente e a transferência de tensão entre os líquidos.

O que deve ser resolvido

Continuidade em cada fase

Para fases incompressíveis com densidade constante, a equação da continuidade é

[ \nabla \cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \qquad i=1,2 ]

onde (\mathbf{v}^{(i)}) é o campo de velocidade da fase (i).

Para um escoamento em canal unidirecional, estacionário e plenamente desenvolvido,

[ \mathbf{v}^{(i)} = \left(v_x^{(i)}(y),0,0\right) ]

e a continuidade é automaticamente satisfeita porque a velocidade axial varia apenas na direção transversal.

Conservação de momento

A equação geral de momento newtoniano incompressível para cada fase é

[ \rho_i \frac{D\mathbf{v}^{(i)}}{Dt}

\rho_i\mathbf{g} -\nabla P^{(i)} +\mu_i\nabla^2\mathbf{v}^{(i)} ]

onde (\rho_i), (\mu_i) e (P^{(i)}) são a densidade, a viscosidade dinâmica e a pressão da fase (i).

Esta equação inclui aceleração transiente e convectiva, gravidade, forças de pressão e difusão viscosa de momento.

Escoamento axial plenamente desenvolvido

Quando o escoamento é estacionário, plenamente desenvolvido e impulsionado principalmente por um gradiente de pressão axial, a equação de momento axial torna-se

[ 0

-\frac{dP^{(i)}}{dx} + \mu_i\frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2} ]

ou, equivalentemente,

[ \frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2}

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

para cada camada de líquido.

A distribuição de velocidade resultante é

[ v_x^{(i)}(y)

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx}\frac{y^2}{2} + a_i y+b_i ]

onde (a_i) e (b_i) são constantes de integração determinadas pelas condições de contorno e de interface.

Condições de contorno em paredes sólidas

Condição de não deslizamento (No-Slip)

Em uma parede sólida estacionária, a velocidade tangencial do fluido é igual à velocidade da parede. Para a geometria de duas camadas na configuração de referência,

[ v_x^{(1)}(H_1)=0 ]

[ v_x^{(2)(-H_2)=0 ]

onde a fase 1 ocupa a região entre a interface e a parede superior, e a fase 2 ocupa a região entre a parede inferior e a interface.

Estas condições fornecem duas das quatro equações necessárias para determinar as constantes de integração.

Condição de não penetração

Em uma parede estacionária impermeável, a velocidade normal é zero:

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(i)}=0 ]

Esta condição impede que qualquer líquido atravesse a parede do canal. Na solução unidirecional idealizada, ela já é representada pela ausência de uma componente de velocidade normal à parede.

Paredes móveis ou porosas

Se uma parede se move, a condição tangencial torna-se

[ \mathbf{v}_t=\mathbf{V}_{w,t} ]

em vez de zero. Uma parede porosa ou reativa requer uma condição de fluxo normal separada, pois o fluido ou as espécies podem atravessar a fronteira.

Condições na interface líquido-líquido

Condição cinemática de interface

Em uma interface estacionária localizada em (y=0), a velocidade normal deve ser compatível com a posição da interface. Para uma interface impermeável e não reagente,

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(1)}

\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(2)} ]

Para a configuração paralela e plenamente desenvolvida, ambas as velocidades normais são zero.

Se a interface estiver se movendo ou deformando, sua velocidade deve, em vez disso, satisfazer a condição cinemática correspondente. A localização da interface torna-se então parte da solução desconhecida.

Continuidade da velocidade tangencial

Para dois líquidos newtonianos imiscíveis comuns sem deslizamento interfacial,

[ v_x^{(1)}(0)=v_x^{(2)}(0) ]

Esta condição garante que as camadas de líquido tenham a mesma velocidade tangencial em sua fronteira mútua.

Ela fornece a terceira relação necessária para determinar as constantes de integração.

Continuidade da tensão tangencial

Quando a interface não possui tensão tangencial gerada por gradientes de tensão superficial, as tensões de cisalhamento viscosas são contínuas:

[ \mu_1\frac{dv_x^{(1)}}{dy}(0)

\mu_2\frac{dv_x^{(2)}}{dy}(0) ]

Isto é essencial quando as viscosidades diferem. O gradiente de velocidade geralmente muda através da interface para que a tensão de cisalhamento permaneça equilibrada.

Ela fornece a quarta relação para as quatro constantes de integração nos dois perfis de velocidade quadráticos.

Tensão normal e tensão superficial

Um modelo completo de duas fases também requer uma condição de tensão normal na interface. Em forma geral,

[ \mathbf{n}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\gamma\kappa ]

com convenção de sinal apropriada, onde (\boldsymbol{\tau}) é o tensor de tensão total, (\gamma) é a tensão interfacial e (\kappa) é a curvatura da interface.

Para uma interface plana e estacionária com tensão interfacial constante, a curvatura é zero e a condição de tensão normal reduz-se à igualdade das tensões normais. Esta condição torna-se especialmente importante quando a interface se deforma, o canal não é plano ou forças capilares controlam a distribuição de fase.

Efeitos de Marangoni

Se a tensão interfacial varia com a temperatura ou composição, a tensão tangencial não é simplesmente contínua. Seu salto é equilibrado pelo gradiente de tensão superficial:

[ \mathbf{t}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\nabla_s\gamma\cdot\mathbf{t} ]

onde (\nabla_s) denota o gradiente de superfície.

Para líquidos isotérmicos com composição uniforme na interface, este termo é normalmente negligenciado.

Condições nas entradas e saídas do canal

Fluxo de entrada especificado

Modelos de planta piloto comumente especificam perfis de velocidade de entrada, taxas de fluxo de fase ou taxas de fluxo volumétrico total. Uma entrada plenamente desenvolvida pode ser prescrita como

[ v_x^{(i)}(y)=v_{\text{in}}^{(i)}(y) ]

ou através da taxa de fluxo de fase,

[ Q_i=\int_{A_i}v_x^{(i)},dA ]

A especificação de entrada deve ser consistente com a distribuição de fase e a posição da interface.

Gradiente de pressão especificado

Para um canal longo e plenamente desenvolvido, o gradiente de pressão pode ser a entrada controladora:

[ \frac{dP^{(i)}}{dx} ]

Em muitas configurações de canal em cocorrente, o gradiente de pressão axial é comum a ambas as fases, embora os perfis de velocidade resultantes difiram porque as viscosidades e as espessuras das camadas diferem.

Condição de saída

Em uma saída, o modelo pode especificar pressão, uma condição de escoamento desenvolvido ou uma condição de saída convectiva apropriada. A escolha depende de se a planta piloto está sendo modelada como impulsionada por pressão, controlada por fluxo ou conectada a equipamentos a jusante.

A condição de saída deve evitar impor uma restrição artificial a uma interface ou campo de velocidade em desenvolvimento.

Por que o contraste de viscosidade importa

Diferente curvatura dos perfis

A curvatura de cada perfil de velocidade é proporcional a

[ \frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

No mesmo gradiente de pressão, a fase menos viscosa desenvolve uma curvatura de velocidade maior do que a fase mais viscosa.

O balanço de tensão controla a mudança do gradiente

Embora a velocidade tangencial seja contínua na interface, os gradientes de velocidade não precisam ser. A condição de tensão requer

[ \mu_1\left.\frac{dv_x^{(1)}}{dy}\right|_{0}

\mu_2\left.\frac{dv_x^{(2)}}{dy}\right|_{0} ]

Assim, uma razão de viscosidade muda como o momento é distribuído entre as camadas.

Consequências para operações unitárias

O campo de velocidade resultante afeta a distribuição do tempo de residência, renovação interfacial, queda de pressão, retenção de fase (holdup), área de transferência de massa e desempenho de separação.

Esses efeitos importam em módulos de extração líquido-líquido, reatores de escoamento estratificado, dispositivos de contato por membrana e outros equipamentos piloto do tipo canal.

Entendendo as compensações

A suposição de plenamente desenvolvido

A solução quadrática é válida apenas após os efeitos de entrada se tornarem desprezíveis. Perto de entradas, distribuidores, curvas, contrações e dispositivos de separação de fase, o desenvolvimento axial e o movimento secundário podem exigir as equações multidimensionais completas.

A suposição de interface plana

Uma interface fixa em (y=0) exclui a deformação da interface e a evolução capilar. Isso pode ser inadequado quando as taxas de fluxo são altas, as dimensões do canal são pequenas, a tensão interfacial é baixa ou as propriedades da fase produzem diferenças de pressão significativas.

A suposição de escoamento laminar

A equação diferencial ordinária simplificada descreve o escoamento viscoso plenamente desenvolvido e é mais diretamente aplicável em condições laminares. Se o canal entrar em um regime de transição ou turbulento, relações de fechamento adicionais e modelagem de turbulência podem ser necessárias.

O número de Reynolds deve ser baseado em uma dimensão hidráulica apropriada, como o diâmetro médio hidráulico

[ d_m=\frac{4A}{p} ]

para a geometria de canal relevante.

A suposição de interface sem deslizamento

A continuidade da velocidade assume um deslizamento interfacial desprezível. Em alguns sistemas especializados, surfactantes, contaminação, reologia interfacial ou efeitos em microescala podem alterar a condição da interface e exigir um modelo constitutivo interfacial.

A suposição de propriedades constantes

As equações de referência assumem viscosidade e densidade constantes. Gradientes fortes de temperatura ou composição podem tornar (\mu_i) e (\rho_i) variáveis, acoplando o momento com balanços de energia e espécies.

Fazendo a escolha certa para o seu objetivo

Use os seguintes princípios de seleção de modelo ao representar uma planta piloto de canal de duas fases:

Se o seu foco principal é o escoamento plenamente desenvolvido impulsionado por pressão: Resolva as equações de momento reduzidas específicas da fase com não deslizamento nas paredes, continuidade da velocidade tangencial e continuidade da tensão tangencial na interface.
Se o seu foco principal é a posição da interface ou retenção de fase: Adicione a condição cinemática de interface e o balanço de tensão normal, incluindo tensão superficial e curvatura.
Se o seu foco principal é o comportamento da região de entrada, distribuidor ou curva: Mantenha as equações completas de Navier-Stokes multidimensionais transientes ou estacionárias e imponha condições de entrada, saída, parede e interface fisicamente consistentes.
Se o seu foco principal é transferência de massa ou reação: Acople as equações de escoamento à conservação de espécies e imponha condições de concentração ou fluxo nas entradas, paredes e na interface líquido-líquido.
Se o seu foco principal é o escalonamento (scale-up) e a previsão de queda de pressão: Inclua o diâmetro hidráulico apropriado, o regime de número de Reynolds, a rugosidade da parede, as taxas de fluxo de fase e as variações de propriedades.

Um modelo de planta piloto de duas fases confiável é definido não apenas por suas equações diferenciais, mas pelas condições de contorno e de interface que representam com precisão como o equipamento real opera.

Tabela de resumo:

Elemento do modelo	Requisito governante	Objetivo
Continuidade	`∇ · v⁽ⁱ⁾ = 0`	Garante a conservação de massa incompressível em cada fase
Momento	`ρᵢ Dv⁽ⁱ⁾/Dt = ρᵢg − ∇P⁽ⁱ⁾ + μᵢ∇²v⁽ⁱ⁾`	Descreve pressão, gravidade, inércia e efeitos viscosos
Escoamento plenamente desenvolvido	`0 = −dP⁽ⁱ⁾/dx + μᵢ d²vₓ⁽ⁱ⁾/dy²`	Produz perfis de velocidade quadráticos em cada camada
Paredes sólidas	Condições de não deslizamento e não penetração	Define o movimento do fluido em paredes estacionárias, móveis ou porosas
Interface líquido-líquido	Compatibilidade de velocidade normal e continuidade de velocidade tangencial	Mantém uma fronteira de fase fisicamente consistente
Tensão de cisalhamento	`μ₁ dvₓ⁽¹⁾/dy = μ₂ dvₓ⁽²⁾/dy`	Equilibra a transferência de momento através da interface
Tensão normal	Salto de tensão equilibrado por `γκ`	Considera a curvatura e a tensão superficial quando a interface se deforma
Efeitos de Marangoni	Salto de tensão tangencial equilibrado por `∇ₛγ`	Representa gradientes de tensão superficial causados por temperatura ou composição
Entrada e saída	Taxa de fluxo prescrita, velocidade, pressão ou condição de escoamento desenvolvido	Corresponde o modelo à operação real da planta piloto
Modelos estendidos	Equações de energia, espécies, turbulência e propriedades variáveis	Suporta transferência de massa, reação, escalonamento e condições operacionais não ideais

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