Em experimentos de camada limite em placa plana, essas três espessuras descrevem diferentes efeitos do mesmo déficit de velocidade. A espessura da camada limite de 99% (\delta_{99}) é uma medida geométrica baseada em onde a velocidade local atinge 99% do valor da corrente livre. A espessura de deslocamento (\delta_1) mede o fluxo volumétrico faltante, enquanto a espessura de quantidade de movimento (\delta_2) mede a perda de fluxo de quantidade de movimento.

As espessuras não são intercambiáveis: (\delta_{99}) descreve a extensão visível da camada limite, (\delta_1) descreve seu efeito de deslocamento de fluxo de massa e (\delta_2) descreve seu efeito de perda de quantidade de movimento.

O que as três espessuras medem

Espessura da camada limite de 99%

A espessura da camada limite de 99%, comumente escrita como (\delta_{99}), é a distância a partir da parede na qual a velocidade local na direção do escoamento atinge 99% da velocidade da corrente livre:

[ u(x,\delta_{99}) = 0.99U_\infty ]

Aqui, (u(x,y)) é a velocidade local na posição longitudinal (x) e na posição normal à parede (y), enquanto (U_\infty) é a velocidade fora da camada limite.

Para o escoamento laminar de Blasius sobre uma placa plana:

[ \delta_{99} \approx 5.0\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

onde (\nu) é a viscosidade cinemática.

Espessura de deslocamento

A espessura de deslocamento, (\delta_1), representa a redução no fluxo volumétrico causada pelo fluido mais lento próximo à parede. É a espessura equivalente de fluido ideal da corrente livre que produziria o mesmo déficit de fluxo volumétrico:

[ \delta_1

\int_0^\infty \left(1-\frac{u}{U_\infty}\right),dy ]

Embora a velocidade real da camada limite se aproxime gradualmente de (U_\infty), a integral é convencionalmente escrita até o infinito porque o déficit de velocidade torna-se desprezível fora da camada limite.

Para o escoamento laminar de Blasius:

[ \delta_1

1.7208\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

Esta grandeza é particularmente útil ao avaliar a área efetiva do canal de escoamento e o deslocamento para fora das linhas de corrente externas.

Espessura de quantidade de movimento

A espessura de quantidade de movimento, (\delta_2), mede o déficit de fluxo de quantidade de movimento produzido pela camada limite:

[ \delta_2

\int_0^\infty \frac{u}{U_\infty} \left(1-\frac{u}{U_\infty}\right),dy ]

O fator (u/U_\infty) leva em conta o fato de que o fluxo de quantidade de movimento depende da velocidade, bem como do fluxo de massa. Portanto, a espessura de quantidade de movimento não é simplesmente outra medida geométrica da camada.

Para o escoamento laminar de Blasius:

[ \delta_2

0.664\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

A espessura de quantidade de movimento é comumente usada em cálculos de arrasto, métodos integrais de camada limite e comparações entre perfis de velocidade teóricos e medidos.

Relações matemáticas para escoamento laminar em placa plana

Escalonamento longitudinal comum

Todas as três grandezas crescem com a mesma escala de comprimento característica:

[ \sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

Assim, para propriedades fixas do fluido e velocidade da corrente livre, cada espessura aumenta aproximadamente com (\sqrt{x}) a jusante da borda de ataque.

A camada limite torna-se mais espessa à medida que se afasta da borda de ataque porque os efeitos viscosos tiveram mais distância para difundir a quantidade de movimento para longe da parede.

Razões em relação à espessura de 99%

Usando os coeficientes de Blasius:

[ \frac{\delta_1}{\delta_{99}}

\frac{1.7208}{5.0} \approx 0.344 ]

Portanto:

[ \delta_1 \approx 0.34\delta_{99} ]

Similarmente:

[ \frac{\delta_2}{\delta_{99}}

\frac{0.664}{5.0} \approx 0.133 ]

Portanto:

[ \delta_2 \approx 0.13\delta_{99} ]

Essas razões explicam por que as espessuras de deslocamento e de quantidade de movimento são numericamente menores do que a espessura de 99% medida ou calculada.

Relação entre espessura de deslocamento e de quantidade de movimento

Para o escoamento laminar de Blasius:

[ \frac{\delta_1}{\delta_2}

\frac{1.7208}{0.664} \approx 2.59 ]

Esta razão é chamada de fator de forma:

[ H

\frac{\delta_1}{\delta_2} ]

Para uma camada limite laminar de Blasius:

[ H \approx 2.59 ]

O fator de forma resume a forma do perfil de velocidade. Um valor maior geralmente indica um déficit de quantidade de movimento mais completo em relação ao efeito de deslocamento e pode ser útil ao avaliar a condição da camada limite e o risco de separação.

Por que as definições são importantes em equipamentos de laboratório

Interpretando medições de perfil de velocidade

Em uma bancada de laboratório de dinâmica dos fluidos, uma sonda de velocidade mede (u(x,y)) em múltiplas localizações normais à parede. O perfil medido pode então ser usado para determinar onde (u/U_\infty=0.99), fornecendo uma estimativa experimental de (\delta_{99}).

O mesmo perfil pode ser integrado numericamente para calcular (\delta_1) e (\delta_2). Essas grandezas integrais usam todo o perfil de velocidade em vez de uma única localização de limiar.

Avaliando a área efetiva de escoamento

A camada limite reduz o fluxo volumétrico transportado pela região próxima à parede. A espessura de deslocamento expressa essa redução como um bloqueio equivalente ou movimento para fora das linhas de corrente externas.

Em um canal, duto ou aparato de escoamento em escala piloto, a área efetiva de escoamento é, portanto, menor do que a área puramente geométrica. O impacto torna-se mais importante à medida que as camadas limite crescem a partir de paredes opostas.

Conectando a perda de quantidade de movimento ao arrasto

A espessura de quantidade de movimento está diretamente relacionada ao déficit de quantidade de movimento longitudinal criado pelo atrito na parede. Em uma camada limite com gradiente de pressão zero, seu crescimento a jusante está associado à quantidade de movimento removida do escoamento externo.

Isso torna (\delta_2) mais relevante do que (\delta_{99}) ao analisar o atrito superficial, arrasto e balanços integrais de quantidade de movimento.

Entendendo os compromissos

(\delta_{99}) depende de um limiar escolhido

A espessura de 99% é conveniente, mas a camada limite não termina em uma superfície física nitidamente definida. Escolher 95%, 99% ou 99,9% produz espessuras numéricas diferentes.

Consequentemente, (\delta_{99}) é útil para relatar a extensão visível da camada, mas é menos fundamental do que as espessuras integrais.

Espessuras integrais dependem da qualidade do perfil

Calcular (\delta_1) e (\delta_2) requer medições de velocidade precisas em toda a região que contém o déficit de velocidade. Medições esparsas, erros de posicionamento da sonda, interferência da parede e incerteza em (U_\infty) podem afetar significativamente as integrações.

Dados experimentais são frequentemente interpolados antes da integração numérica, mas a interpolação escolhida e o tratamento do limite externo da medição devem ser documentados.

As relações de Blasius têm premissas específicas

As fórmulas

[ \delta_{99}=5.0\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}, \qquad \delta_1=1.7208\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}}, \qquad \delta_2=0.664\sqrt{\frac{\nu x}{U_\infty}} ]

aplicam-se a uma camada limite laminar, bidimensional, incompressível e em regime permanente sobre uma placa plana com gradiente de pressão aproximadamente zero.

Elas não devem ser aplicadas sem modificação a escoamentos turbulentos, grandes gradientes de pressão, superfícies curvas, escoamento tridimensional transversal, escoamento compressível ou escoamento separado. Nesses casos, as definições permanecem úteis, mas as relações numéricas mudam.

Como aplicar isso ao seu projeto

Use as três medidas de acordo com a pergunta que seu experimento de laboratório pretende responder:

Se o seu foco principal é o crescimento da camada limite: Use (\delta_{99}) para relatar a espessura geométrica e comparar sua variação medida com (5.0\sqrt{\nu x/U_\infty}).
Se o seu foco principal é o bloqueio do escoamento ou área efetiva do canal: Use (\delta_1) porque quantifica o déficit de fluxo volumétrico e o deslocamento das linhas de corrente.
Se o seu foco principal é o arrasto ou perda de quantidade de movimento: Use (\delta_2) e avalie o fator de forma (H=\delta_1/\delta_2).
Se o seu foco principal é validar um experimento de placa plana laminar: Compare todas as três grandezas e verifique se (\delta_1/\delta_{99}\approx0.34), (\delta_2/\delta_{99}\approx0.13) e (H\approx2.59).

Selecionar a definição de espessura que corresponde à grandeza física de interesse transforma um perfil de velocidade medido em um resultado de engenharia significativo.

Tabela de resumo:

Espessura	O que mede	Fórmula chave	Resultado de Blasius
Espessura da camada limite de 99%, δ₉₉	Distância onde a velocidade atinge 99% da velocidade da corrente livre	u(x, δ₉₉) = 0.99U∞	δ₉₉ ≈ 5.0√(νx/U∞)
Espessura de deslocamento, δ₁	Déficit de fluxo volumétrico e deslocamento para fora das linhas de corrente externas	δ₁ = ∫₀∞(1 − u/U∞)dy	δ₁ = 1.7208√(νx/U∞)
Espessura de quantidade de movimento, δ₂	Déficit de fluxo de quantidade de movimento associado ao arrasto e perda de quantidade de movimento	δ₂ = ∫₀∞(u/U∞)(1 − u/U∞)dy	δ₂ = 0.664√(νx/U∞)
Fator de forma, H	Forma do perfil de velocidade e indicador de tendência de separação	H = δ₁/δ₂	H ≈ 2.59

Relações de placa plana laminar: δ₁ ≈ 0.34δ₉₉, δ₂ ≈ 0.13δ₉₉, e todas as três grandezas escalam com √(νx/U∞).

Aplique a teoria da camada limite ao seu laboratório

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