A velocidade terminal de sedimentação é determinada equilibrando a força gravitacional resultante sobre a partícula com a resistência do fluido. Para uma partícula esférica no regime de baixo número de Reynolds, isso resulta na lei de Stokes:

[ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} ]

onde (U_t) é a velocidade terminal, (D_p) é o diâmetro da partícula, (\rho_p) e (\rho_f) são as densidades da partícula e do fluido, e (\mu) é a viscosidade do fluido. Em uma planta-piloto, os estudantes normalmente calculam esse valor, verificam o regime de escoamento aplicável e o comparam com a velocidade medida em uma coluna de sedimentação ou em um tanque de sedimentação.

O método central é um balanço de forças, mas a lei de Stokes só é válida quando a resistência viscosa predomina. Para partículas maiores ou fluidos de menor viscosidade, o coeficiente de resistência depende do número de Reynolds, portanto a velocidade deve ser determinada selecionando ou iterando o regime de resistência apropriado.

Como o balanço de forças determina a velocidade terminal

Força gravitacional ou de empuxo resultante

Para uma partícula esférica sedimentando através de um fluido, a força gravitacional descendente é contrabalançada pelo empuxo. A força motriz resultante é

[ F_{\text{net}}=\frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f) ]

onde (R) é o raio da partícula.

Se (\rho_p>\rho_f), a partícula sedimenta. Se (\rho_p<\rho_f), ela sobe, e a direção da velocidade é invertida.

Resistência hidrodinâmica

À medida que a partícula se move, o fluido exerce uma força de resistência que se opõe ao seu movimento. Sob condições de escoamento de Stokes, a força de resistência sobre uma esfera é

[ F_D=6\pi\mu R U_t ]

Na velocidade terminal, a aceleração cessou porque a força resultante é zero:

[ F_{\text{net}}=F_D ]

Substituindo as duas expressões de força, obtém-se

[ \frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f)

6\pi\mu R U_t ]

e, portanto,

[ U_t=\frac{2}{9}\frac{R^2g(\rho_p-\rho_f)}{\mu} ]

Usando (D_p=2R), a mesma equação torna-se

[ \boxed{ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} } ]

Quando a lei de Stokes se aplica

Baixo número de Reynolds da partícula

O número de Reynolds da partícula é

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

Para números de Reynolds muito baixos, normalmente (Re_p<0.3) no tratamento laboratorial da sedimentação, a resistência viscosa segue de perto a lei de Stokes.

Nesse regime, os efeitos de inércia são desprezíveis e a viscosidade controla a resistência ao movimento.

Significado da equação

O resultado de Stokes mostra que a velocidade terminal:

Aumenta com o quadrado do diâmetro da partícula.
Aumenta linearmente com a diferença de densidade.
Aumenta com a aceleração gravitacional.
Diminui à medida que a viscosidade do fluido aumenta.

Assim, dobrar o diâmetro da partícula aumenta a velocidade prevista por um fator de quatro, desde que a partícula permaneça no regime de Stokes.

Como os experimentos em plantas-piloto determinam a velocidade

Medição em coluna de sedimentação

Uma suspensão conhecida é introduzida em uma coluna de sedimentação transparente ou em um recipiente de sedimentação. A posição da partícula ou da interface é registrada em função do tempo.

Depois que a partícula atravessa seu período inicial de aceleração, sua posição muda aproximadamente de forma linear com o tempo. A inclinação dessa região fornece a velocidade terminal medida:

[ U_t \approx \frac{\Delta z}{\Delta t} ]

onde (\Delta z) é a distância de sedimentação medida.

Comparação entre os valores medidos e calculados

Normalmente, os estudantes calculam (U_t) a partir do tamanho da partícula, da densidade, da viscosidade e da gravidade antes de realizar o experimento. Em seguida, a velocidade medida é comparada com o valor teórico.

As diferenças podem resultar de distribuições de tamanho de partículas, partículas não esféricas, efeitos de parede, concentração da suspensão, aglomeração, variação de temperatura ou falha em atingir o movimento terminal.

Estimativa do desempenho da separação

A velocidade terminal ajuda a determinar se uma partícula será removida dentro do tempo de residência disponível:

[ t_s\approx\frac{H}{U_t} ]

onde (H) é a distância de sedimentação sob as condições idealizadas relevantes.

Essa relação apoia a análise preliminar de tanques de sedimentação, clarificadores, espessadores e equipamentos de clarificação celular.

Como selecionar o regime de resistência correto

A dependência circular

Para condições fora do regime de Stokes, a velocidade terminal depende do coeficiente de resistência. O coeficiente de resistência depende do número de Reynolds, mas o próprio número de Reynolds contém a velocidade terminal desconhecida:

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

Consequentemente, a velocidade nem sempre pode ser calculada diretamente por meio de uma única equação explícita.

Método do grupo de atrito

Um parâmetro conveniente para triagem é

[ K

D_p \left[ \frac{\rho_f(\rho_p-\rho_f)g}{\mu^2} \right]^{1/3} ]

O valor de (K) indica o provável regime de sedimentação:

(K<3.3): regime laminar ou de Stokes
(3.3<K<43.6): regime de transição ou de Allen
(K>43.6): regime turbulento ou de Newton

Esses limites são diretrizes educacionais úteis, mas o regime final deve ser confirmado usando o número de Reynolds calculado e a correlação de resistência utilizada.

Procedimento de tentativa e verificação

Um cálculo típico em planta-piloto segue esta sequência:

Especificar (D_p), (\rho_p), (\rho_f), (\mu) e (g).
Estimar o regime provável usando (K) ou uma hipótese inicial para o número de Reynolds.
Calcular (U_t) com a equação de sedimentação correspondente.
Calcular (Re_p) usando essa velocidade.
Verificar se o número de Reynolds está de acordo com o regime assumido.
Repetir com outra correlação se a hipótese for inconsistente.

Esse procedimento é especialmente importante para partículas situadas na região de transição.

O que a planta-piloto ensina além da equação

Efeito das propriedades do fluido

O aumento da viscosidade desacelera a sedimentação porque o fluido oferece maior resistência ao movimento das partículas. O aumento da diferença de densidade entre a partícula e o fluido aumenta a força motriz e, portanto, a velocidade de sedimentação.

A temperatura pode afetar consideravelmente a viscosidade, portanto a temperatura do fluido deve ser registrada durante os experimentos.

Efeito do tamanho e da forma das partículas

A equação ideal pressupõe partículas esféricas com diâmetro conhecido. Os sólidos reais podem ser irregulares, porosos ou aglomerados.

Para partículas não esféricas, a velocidade de sedimentação medida é frequentemente menor do que a de uma esfera de volume equivalente, pois a resistência efetiva é maior.

Suspensões diluídas versus concentradas

O balanço de forças de uma única partícula descreve a sedimentação livre sem impedimentos, na qual as partículas estão suficientemente separadas para não perturbarem intensamente umas às outras.

Em concentrações mais elevadas, as interações entre partículas e o deslocamento do fluido alteram o comportamento da sedimentação. A velocidade de interface medida pode então representar uma sedimentação impedida ou em zona, em vez da velocidade terminal de uma esfera isolada.

Compreendendo os compromissos

A lei de Stokes é simples, mas limitada

A lei de Stokes é clara e muito útil para ensinar balanços de forças, tendências de escala e comportamento em baixos números de Reynolds. Ela se torna pouco confiável quando a inércia das partículas é significativa ou quando a suspensão é concentrada.

Usá-la automaticamente para todos os tamanhos de partículas pode produzir tempos de sedimentação e previsões de separação incorretos.

As velocidades teóricas e medidas podem diferir

Uma planta-piloto raramente se comporta como um fluido infinito e em repouso. Paredes do recipiente, perturbações na entrada, turbulência, curto-circuito hidráulico, variação do tamanho das partículas e incerteza de amostragem podem afetar o resultado.

Assim, o valor experimental deve ser interpretado como uma propriedade do equipamento e da condição operacional especificados, e não como uma constante universal da partícula.

A gravidade nem sempre fornece a aceleração

Na sedimentação convencional, (g) é a aceleração gravitacional. Na centrifugação, a aceleração efetiva é substituída pela aceleração centrífuga local.

O mesmo princípio de balanço de forças se aplica, mas a aceleração pode variar com a posição radial no equipamento.

A separação gás-líquido utiliza um tratamento prático diferente

Para gotículas líquidas sedimentando através de um gás, as razões de densidade e o comportamento da resistência diferem substancialmente da sedimentação líquido-sólido. O projeto de separadores normalmente utiliza um fator de resistência ou coeficiente de resistência relacionado ao número de Reynolds, em vez de aplicar indiscriminadamente a equação de Stokes para líquido-sólido.

O princípio fundamental permanece o mesmo: o peso ajustado pelo empuxo é equilibrado pela resistência durante o movimento terminal.

Como aplicar isso ao seu experimento em planta-piloto

Use a abordagem a seguir de acordo com o objetivo do exercício:

Se o seu foco principal for a teoria de baixo número de Reynolds: Aplique o balanço de forças e use (\displaystyle U_t=gD_p^2(\rho_p-\rho_f)/(18\mu)), verificando então se o (Re_p) resultante está dentro da faixa de Stokes.
Se o seu foco principal for a medição experimental: Determine a inclinação da posição da partícula ou da interface em função do tempo na região de sedimentação terminal e compare-a com a velocidade calculada.
Se o seu foco principal for o projeto do equipamento: Use a correlação de resistência apropriada, o tempo de residência e a distância de sedimentação, em vez de depender da lei de Stokes sem verificar o regime de escoamento.
Se o seu foco principal for o aumento de escala: Registre a distribuição do tamanho das partículas, a concentração, a temperatura, as propriedades do fluido e a geometria do recipiente, pois esses fatores determinam se o comportamento laboratorial representa a operação em escala-piloto ou industrial.

Uma determinação confiável da velocidade terminal combina o balanço de forças, a verificação do regime e a comparação direta com as medições na planta-piloto.

Tabela-resumo:

Aspecto principal	Ponto principal
Princípio fundamental	A velocidade terminal ocorre quando o peso aparente equilibrado pelo empuxo é igual à resistência hidrodinâmica.
Lei de Stokes	`Ut = gDp²(rhop - rhof) / 18mu` para baixos números de Reynolds da partícula.
Variáveis principais	Diâmetro da partícula, diferença de densidade, viscosidade do fluido e gravidade.
Verificação do regime	Calcule `Rep` e confirme se a resistência de Stokes, de transição ou turbulenta se aplica.
Método experimental	Meça a inclinação da posição da partícula ou da interface em função do tempo na região de sedimentação terminal.
Uso na separação	Estime o tempo de sedimentação e avalie o desempenho de tanques de sedimentação, clarificadores e espessadores.
Fontes de erro	Forma das partículas, distribuição de tamanho, efeitos de parede, concentração, temperatura e movimento terminal incompleto.
Dados para aumento de escala	Registre as propriedades das partículas, a concentração da suspensão, as condições do fluido e a geometria do recipiente.

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