Para uma suspensão particulada diluída, calcule a difusividade efetiva do soluto corrigindo a difusividade da fase contínua em relação à fração volumétrica das partículas e ao transporte de soluto através das partículas. O modelo de suspensão diluída de Maxwell fornece

[ \frac{K_{\mathrm{eff}}D_{\mathrm{eff}}}{D}

1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi+O(\phi^2), \qquad \gamma=\frac{K D_s}{D} ]

onde (D) é a difusividade no fluido contínuo, (D_s) é a difusividade na fase particulada, (K) é o coeficiente de partição do soluto, (K_{\mathrm{eff}}) é o coeficiente de partição efetivo e (\phi) é a fração volumétrica das partículas. Para partículas esféricas completamente impermeáveis, o resultado torna-se (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{3}{2}\phi) numa base de concentração da fase fluida, ou (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{1}{2}\phi) numa base de concentração média por volume.

O cálculo só é fiável quando a base de concentração, a permeabilidade das partículas e a difusividade relevante são definidas de forma consistente. Numa suspensão diluída de esferas impermeáveis, as partículas dificultam o transporte; partículas permeáveis ou que absorvem soluto podem reduzir ou aumentar a difusividade efetiva, dependendo de (K D_s/D).

Estabelecer o que significa "Difusividade Efetiva"

Definir a escala de transporte

A difusividade efetiva é um coeficiente macroscópico utilizado num modelo de transferência de massa em contínuo. Representa a influência combinada da difusão molecular na fase contínua, o transporte dentro das partículas, a exclusão de partículas e a partição do soluto.

Não é necessariamente a difusividade intrínseca dentro da fase líquida ou sólida. Numa instalação-piloto, é o valor que deve reproduzir o fluxo de soluto observado ou a evolução da concentração sob o modelo selecionado.

Identificar a base de concentração

A mesma suspensão física pode produzir diferentes valores reportados de (D_{\mathrm{eff}}), dependendo de como a concentração é definida.

Para uma base de concentração da fase fluida, a concentração é referenciada ao volume de líquido disponível fora das partículas. Para uma base de média por volume, a concentração é calculada como média sobre o volume total da suspensão.

Esta distinção explica por que razão as esferas impermeáveis dão correções de primeira ordem diferentes:

[ \left(\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D}\right)_{\text{base fluida}}

1-\frac{3}{2}\phi ]

[ \left(\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D}\right)_{\text{base média por volume}}

1-\frac{1}{2}\phi. ]

A base utilizada no cálculo da difusividade deve corresponder à base utilizada no balanço de massa da instalação-piloto.

Calcular a Correção de Maxwell

Medir ou estimar a difusividade da fase contínua

Primeiro, determine (D), a difusividade do soluto no fluido contínuo isento de partículas sob as condições operacionais da instalação-piloto.

O valor deve corresponder à temperatura, composição do solvente, pressão e gama de concentração do soluto reais. Para sistemas líquidos diluídos, (D) pode ser obtido a partir de uma correlação apropriada ou de uma medição de difusão independente.

Determinar a fração volumétrica das partículas

Calcule a fração volumétrica das partículas dispersas como

[ \phi=\frac{V_{\mathrm{partículas}}}{V_{\mathrm{suspensão total}}}. ]

Para uma suspensão diluída, (\phi) deve ser suficientemente pequeno para que as interações partícula-partícula e os termos de ordem superior possam ser razoavelmente negligenciados.

A expressão de Maxwell é uma aproximação de primeira ordem:

[ \frac{K_{\mathrm{eff}}D_{\mathrm{eff}}}{D} \approx 1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi. ]

Os termos omitidos (O(\phi^2)) tornam-se cada vez mais importantes à medida que a suspensão se torna mais concentrada.

Caracterizar o transporte nas partículas

Calcule

[ \gamma=\frac{K D_s}{D}. ]

Aqui:

(D_s) é a difusividade do soluto dentro das partículas dispersas.
(K) descreve a partição da concentração do soluto entre a fase particulada e a fase contínua.
(D) é a difusividade da fase contínua.

O parâmetro (\gamma) compara a capacidade de transporte da fase particulada com a da fase contínua, ao mesmo tempo que contabiliza a partição.

Resolver para a difusividade efetiva

Reorganizar a relação de Maxwell dá

[ D_{\mathrm{eff}} \approx \frac{D}{K_{\mathrm{eff}}} \left[ 1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi \right]. ]

Este é o cálculo geral para suspensões diluídas. O valor de (K_{\mathrm{eff}}) deve ser avaliado utilizando a mesma convenção de concentração e média utilizada no modelo da instalação-piloto.

Aplicar o limite de partículas impermeáveis

Utilizar a suposição limite apropriada

Para partículas completamente impermeáveis, o soluto não pode difundir-se através da fase dispersa. O limite correspondente é

[ \gamma=0. ]

A substituição na correção de Maxwell dá

[ 1+3\left(\frac{0-1}{0+2}\right)\phi

1-\frac{3}{2}\phi. ]

Portanto, numa base de concentração da fase fluida,

[ D_{\mathrm{eff}} \approx D\left(1-\frac{3}{2}\phi\right). ]

Este resultado captura a redução no transporte de soluto causada pela perturbação do campo de difusão em torno de partículas esféricas não condutoras.

Utilizar o resultado da média por volume quando apropriado

Se o balanço da instalação-piloto utiliza a concentração média sobre o volume total da suspensão, o resultado de primeira ordem correspondente é

[ D_{\mathrm{eff}} \approx D\left(1-\frac{1}{2}\phi\right). ]

A diferença é um efeito contabilístico associado ao volume de referência da concentração. Não significa que foram medidas duas difusividades de suspensão físicas diferentes.

Utilizar o resultado numa instalação-piloto

Inserir (D_{\mathrm{eff}}) no modelo de transferência de massa

Uma vez calculado, (D_{\mathrm{eff}}) pode ser usado na equação de transporte governante ou numa correlação de transferência de massa.

Para uma experiência de difusão transiente, aparece no comprimento de difusão característico,

[ \delta(t)\sim \left(D_{\mathrm{eff}}t\right)^{1/2}. ]

Também controla o fluxo transiente, que escala com (D_{\mathrm{eff}}^{1/2}) sob o modelo de penetração de Fick correspondente.

Separar a difusão dos efeitos hidrodinâmicos

Uma instalação-piloto pode mostrar uma alteração na taxa global de transferência de massa devido à agitação, circulação, área interfacial, sedimentação de partículas ou viscosidade da suspensão. Estes efeitos não devem ser automaticamente interpretados como uma alteração na difusividade molecular.

Um coeficiente global medido pode ser representado esquematicamente como

[ \frac{1}{K_L}

\frac{1}{k_L} + \frac{1}{m k_G} ]

ou pelo modelo de resistência apropriado para a operação unitária. (D_{\mathrm{eff}}) pertence ao interior do modelo de transporte da fase relevante; não é intercambiável com o coeficiente global de transferência de massa.

Inferir a difusividade a partir do fluxo medido, quando necessário

Se a experiência de suspensão fornecer um perfil de concentração ou fluxo fiável, os investigadores podem ajustar (D_{\mathrm{eff}}) ao modelo de transporte.

O resultado ajustado deve então ser comparado com a previsão de Maxwell. Uma grande discrepância pode indicar carga de partículas não diluída, permeabilidade das partículas, aglomeração, sedimentação, fluxo não newtoniano ou uma condição de fronteira hidrodinâmica incorreta.

Estender a análise a outras operações unitárias

Distinguir o transporte em suspensão do transporte em partículas porosas

O modelo de suspensão de Maxwell descreve o transporte de soluto através de um fluido contínuo contendo partículas dispersas. Não deve ser confundido com a difusão dentro de um catalisador poroso ou sólido poroso.

Para partículas porosas gás-sólido, a difusão molecular e a de Knudsen podem atuar em paralelo como mecanismos de transporte. Uma relação combinada frequentemente utilizada é

[ \frac{1}{D_e}

\frac{1}{D_{Ae}} + \frac{1}{D_{Ake}}, ]

onde (D_{Ae}) é a difusividade molecular efetiva e (D_{Ake}) é a difusividade de Knudsen efetiva.

Essa relação é relevante para o transporte nos poros intraparticulares, enquanto a correção de Maxwell é relevante para o transporte efetivo de uma suspensão como um todo.

Tratar a difusão de gases multicomponentes separadamente

Para uma mistura gasosa em que o componente (A) se difunde através de componentes estacionários, uma difusividade efetiva da fase gasosa pode ser estimada a partir de

[ \frac{1}{D'}

\frac{y'B}{D{AB}} + \frac{y'C}{D{AC}} +\cdots. ]

Isto contabiliza múltiplas resistências de difusão gasosa binária. Não substitui a correção da fração volumétrica das partículas para uma suspensão líquido-sólido.

Compreender os compromissos

O modelo está restrito a sistemas diluídos

A expressão de Maxwell de primeira ordem negligencia termos de ordem (\phi^2) e superiores. Com cargas de sólidos mais elevadas, as interações entre partículas, a tortuosidade, o apinhamento e as alterações na reologia da suspensão podem alterar materialmente o transporte.

Utilizar a fórmula para sistemas diluídos fora da sua gama de concentração válida pode subestimar a resistência ao transporte.

A forma da partícula importa

As expressões declaradas aplicam-se a partículas esféricas sob as suposições do modelo de Maxwell. Fibras, flocos, partículas irregulares, aglomerados porosos e partículas biológicas deformáveis podem produzir campos de transporte diferentes.

A orientação e agregação das partículas também podem tornar a difusividade efetiva anisotrópica ou dependente do histórico da suspensão.

As suposições de permeabilidade devem ser testadas

Definir (\gamma=0) é apropriado apenas quando as partículas são efetivamente impermeáveis ao soluto. Se o soluto entrar nas partículas, tanto (K) como (D_s) afetam o resultado.

Uma partícula com alta partição, mas difusão interna muito lenta, não se comporta de forma idêntica a uma com difusão interna rápida, mesmo que ambas contenham o mesmo soluto em equilíbrio.

As medições à escala piloto incluem incerteza do modelo

Uma difusividade ajustada pode absorver erros na área interfacial, distribuição do tempo de residência, mistura, amostragem e retenção de fase. Por esta razão, (D_{\mathrm{eff}}) deve ser reportado com a base de concentração, carga de partículas, temperatura e modelo de transporte utilizados para o obter.

Como aplicar isto à sua instalação-piloto

Utilize o seguinte fluxo de trabalho para manter o cálculo fisicamente consistente:

Se o seu foco principal são lamas impermeáveis diluídas: Meça (D), calcule (\phi) e utilize (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{3}{2}\phi) para a concentração da fase fluida ou (1-\tfrac{1}{2}\phi) para a concentração média por volume.
Se o seu foco principal são partículas permeáveis ou absorventes: Determine (K) e (D_s), calcule (\gamma=K D_s/D) e aplique a expressão geral de Maxwell.
Se o seu foco principal é o aumento de escala (scale-up) da instalação-piloto: Utilize (D_{\mathrm{eff}}) dentro do modelo de transferência de massa específico da fase e contabilize independentemente a mistura, área interfacial, tempo de residência e resistência hidrodinâmica.
Se o seu foco principal é o design de catalisadores porosos ou reatores gás-sólido: Utilize um modelo de difusão nos poros molecular-mais-Knudsen em vez da correção de suspensão de esferas dispersas.
Se o seu foco principal é a validação experimental: Compare a difusividade prevista com um valor ajustado a partir de perfis de concentração transientes ou fluxos de soluto medidos, documentando a base de concentração e as condições da suspensão.

Uma difusividade efetiva defensável é obtida combinando a correção de Maxwell, as suposições de transporte nas partículas, a base de concentração e o modelo de transferência de massa da instalação-piloto com o sistema físico real.

Tabela Resumo:

Sistema ou suposição	Cálculo chave	Consideração principal
Suspensão diluída geral	`D_eff ≈ (D/K_eff)[1 + 3((γ−1)/(γ+2))φ]`	Utilizar convenções consistentes de concentração e partição
Parâmetro de transporte nas partículas	`γ = K D_s / D`	Inclui a difusividade nas partículas e a partição do soluto
Esferas impermeáveis, base da fase fluida	`D_eff/D ≈ 1 − 3φ/2`	As partículas dificultam o transporte do soluto
Esferas impermeáveis, base média por volume	`D_eff/D ≈ 1 − φ/2`	Corrigir para a média do volume total da suspensão
Aplicação em instalação-piloto	Inserir `D_eff` no modelo de transporte específico da fase	Contabilizar separadamente a mistura, área interfacial, sedimentação e tempo de residência
Catalisador poroso ou sistema gás-sólido	`1/D_e = 1/D_Ae + 1/D_Ake`	Utilizar modelos de difusão nos poros molecular e Knudsen em vez da correção de suspensão de Maxwell

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