A tensão total do fluido é separada em uma tensão de pressão isotrópica e uma tensão viscosa desviadora. Na convenção de sinais usual da mecânica do contínuo, o tensor de tensões de Cauchy é escrito como (\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}), onde (p) é a pressão estática ou termodinâmica e (\boldsymbol{\tau}) é o tensor de tensões viscosas. Essa decomposição permite que os modelos de plantas piloto distingam as forças de gradiente de pressão, que transportam e aceleram o fluido, das tensões viscosas, que representam a transferência de momento causada pela deformação.

A ideia principal é que a pressão atua igualmente em todas as direções, enquanto a tensão viscosa depende dos gradientes de velocidade. Sua divergência combinada aparece no balanço de momento e determina a queda de pressão, o atrito na parede, o torque de mistura e a distribuição do fluxo.

O que significa a decomposição de tensões

A tensão total inclui efeitos de pressão e viscosos

A tensão total que atua sobre um elemento de fluido é representada pelo tensor de tensões de Cauchy:

[ \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

Aqui, (\mathbf{I}) é o tensor identidade, (-p\mathbf{I}) é a contribuição da pressão isotrópica e (\boldsymbol{\tau}) é a contribuição viscosa ou desviadora.

O sinal negativo segue a convenção comum de que a pressão positiva é compressiva, enquanto a tensão normal de tração é positiva.

A pressão é a parte isotrópica

A pressão contribui com a mesma tensão normal nas direções (x), (y) e (z):

[ \sigma_{xx}^{(p)}=\sigma_{yy}^{(p)}=\sigma_{zz}^{(p)}=-p ]

Ela não cria tensão de cisalhamento porque um campo de pressão isotrópico não tem direção preferencial.

Para um tensor de tensões geral, a pressão termodinâmica está relacionada à tensão normal média por:

[ p=-\frac{1}{3} \left( \sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} \right) ]

A tensão viscosa é então a parte desviadora restante:

[ \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\sigma}+p\mathbf{I} ]

Consequentemente, o tensor de tensões viscosas tem traço zero:

[ \tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz}=0 ]

Essa condição de traço zero é o que torna o tensor viscoso uma contribuição de tensão desviadora, e não volumétrica.

Como a decomposição entra na equação de momento

Começando pelo balanço geral de momento

O balanço local de momento linear é:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} ]

onde (\rho) é a densidade, (\mathbf{v}) é a velocidade, (D/Dt) é a derivada material e (\mathbf{f}) representa as forças de corpo, como a gravidade por unidade de volume.

Substituindo (\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}), obtemos:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}

\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

Esta é a forma pressão-viscosa da equação de momento de Cauchy.

Gradientes de pressão impulsionam o transporte em massa

O termo

[ -\nabla p ]

representa a força gerada por mudanças espaciais na pressão estática. Em um tubo em escala piloto, por exemplo, uma queda de pressão imposta acelera o fluido através da rede.

Em um líquido estático sob gravidade, a pressão varia com a elevação. Com (z) medido para cima:

[ \nabla p=\rho\mathbf{g} ]

onde (\mathbf{g}) aponta para baixo. Este campo de pressão hidrostática equilibra a gravidade quando o fluido está em repouso.

Tensões viscosas resistem à deformação

O termo

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

representa a força viscosa líquida resultante da variação espacial das tensões viscosas. É responsável por efeitos como atrito na parede, desenvolvimento do perfil de velocidade e difusão de momento entre camadas adjacentes de fluido.

A pressão pode existir em um fluido em repouso, mas a tensão viscosa geralmente requer gradientes de velocidade ou deformação, exceto por efeitos constitutivos especializados em materiais mais complexos.

Como a tensão viscosa está relacionada à velocidade

Relação para fluidos Newtonianos

Para um fluido Newtoniano isotrópico, a tensão viscosa está linearmente relacionada ao tensor de taxa de deformação:

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

onde

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

Aqui, (\mu) é a viscosidade dinâmica e (\lambda) é o segundo coeficiente de viscosidade associado à deformação volumétrica.

Para um fluido incompressível,

[ \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

portanto, a relação constitutiva reduz-se a:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

A equação de momento torna-se então a forma Newtoniana familiar, sujeita às suposições usadas para viscosidade e densidade constantes.

Tensões de cisalhamento surgem de gradientes de velocidade

Para um fluxo simples na direção (x) com velocidade variando ao longo de (y), a tensão de cisalhamento viscosa dominante é:

[ \tau_{xy}

\mu\frac{\partial u}{\partial y} ]

Esta relação é diretamente relevante para o fluxo em tubos, tanques agitados, camadas limite e canais de fluxo em plantas piloto.

O mesmo gradiente que produz o cisalhamento na parede também contribui para a perda de pressão e para os requisitos de potência de bombeamento.

Tensões viscosas normais também podem ocorrer

Os efeitos viscosos não se limitam aos componentes de cisalhamento. Em fluxos acelerados, convergentes, expansivos ou extensionais, os componentes diagonais de (\boldsymbol{\tau}) podem ser significativos.

Para fluxo Newtoniano incompressível, essas tensões viscosas normais estão ligadas aos gradientes de velocidade normais, mantendo a condição de traço zero do tensor desviador.

Aplicando a decomposição em equipamentos de planta piloto

Redes de tubulação e canais de fluxo

Em tubos, os gradientes de pressão fornecem a principal força motriz, enquanto as tensões viscosas transferem momento para as paredes. O equilíbrio resultante determina o perfil de velocidade e a queda de pressão.

Para o fluxo turbulento em plantas piloto, a tensão modelada inclui tanto a viscosidade molecular quanto o efeito das flutuações de velocidade. As tensões de Reynolds são comumente representadas como:

[ \tau_{xy}^{t}

-\rho\overline{u'v'} ]

onde (u') e (v') são componentes de velocidade flutuantes.

Tanques de mistura e reatores

Em um vaso agitado, a pressão contribui para o campo de força geral e a distribuição hidrostática. A tensão viscosa controla a dissipação de energia local, a exposição ao cisalhamento e o torque exigido pelo impulsor.

Para conteúdos de reatores não Newtonianos, a viscosidade local pode mudar com a taxa de deformação. A decomposição de tensões permanece válida, mas o modelo constitutivo para (\boldsymbol{\tau}) torna-se não linear.

Colunas de separação e equipamentos de gravidade

Em colunas de sedimentação, decantadores e equipamentos de flotação, a pressão hidrostática varia com a profundidade e ajuda a determinar o comportamento da interface de fase e do nível. As tensões viscosas governam a resistência à sedimentação, o movimento interfacial e o fluxo próximo à parede.

O campo de pressão e o campo viscoso, portanto, servem a propósitos de modelagem diferentes: a pressão estabelece a distribuição de força normal, enquanto a tensão viscosa descreve a transferência de momento relacionada à deformação.

Trocadores de calor e unidades de fluxo térmico

Em canais de trocadores de calor, o cisalhamento na parede e a queda de pressão estão ligados ao campo de gradiente de velocidade. A mesma estrutura de fluxo afeta a camada limite térmica e a transferência de calor por convecção.

Em altos números de Reynolds, o transporte de momento turbulento pode exceder substancialmente o transporte viscoso molecular, portanto, um modelo de turbulência deve levar em conta a tensão aparente adicional.

Entendendo os compromissos

Pressão não é o mesmo que tensão normal total

Um erro comum de modelagem é tratar toda tensão normal como pressão estática. Em fluxos compressíveis, extensionais, de aceleração rápida ou não Newtonianos, as tensões viscosas normais podem ser importantes.

A pressão é a parte isotrópica do estado de tensão; as tensões normais restantes pertencem ao tensor desviador.

A tensão turbulenta é modelada, não a viscosidade molecular

No fluxo turbulento, a equação de momento média no tempo contém tensões de Reynolds geradas por flutuações de velocidade. Essas tensões não são idênticas às tensões viscosas moleculares, embora os modelos de turbulência frequentemente representem seu efeito líquido através de uma viscosidade efetiva ou turbulenta.

Usar apenas a viscosidade molecular pode subestimar o atrito na parede, a queda de pressão, a demanda de mistura e a potência de bombeamento em equipamentos piloto turbulentos.

As convenções de sinais devem permanecer consistentes

Algumas referências definem o tensor de tensões totais usando pressão compressiva como (+p\mathbf{I}), enquanto outras usam (-p\mathbf{I}). Ambas as convenções podem funcionar, mas a equação de momento e as definições de tensão normal devem usar a mesma convenção em todo o processo.

A forma padrão de engenharia é:

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

A incompressibilidade não elimina todas as tensões viscosas

Para um fluido incompressível, (\nabla\cdot\mathbf{v}=0) remove o termo de dilatação volumétrica da equação constitutiva Newtoniana. Isso não elimina a tensão de cisalhamento ou as tensões desviadoras normais causadas por outros gradientes de velocidade.

Fluidos não Newtonianos requerem uma lei constitutiva adequada

Para soluções poliméricas, suspensões concentradas e caldos de fermentação, a viscosidade pode depender da magnitude da taxa de deformação. Um modelo generalizado pode ser escrito como:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu(\Gamma) \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

onde (\Gamma) caracteriza a taxa de deformação local.

A decomposição pressão-viscosa ainda se aplica, mas a tensão viscosa deve ser calculada usando o comportamento reológico medido do fluido.

Como aplicar isso ao seu projeto

A decomposição correta depende do equipamento, do regime de fluxo e do modelo de fluido que está sendo usado.

Se o seu foco principal é a queda de pressão em tubulações: Calcule a contribuição do gradiente de pressão separadamente das tensões viscosas de parede e de massa, e inclua as tensões de Reynolds turbulentas quando o fluxo for turbulento.
Se o seu foco principal é a mistura ou o design de reatores: Use o campo de tensão viscosa para avaliar o torque do impulsor, a dissipação de energia local e a exposição ao cisalhamento, mantendo a pressão para o balanço geral de força e hidrostático.
Se o seu foco principal é o equipamento de separação: Use a pressão hidrostática para estabelecer a carga normal dependente da profundidade e use as tensões viscosas para modelar a sedimentação, o movimento interfacial e o arrasto.
Se o seu foco principal é o processamento não Newtoniano: Mantenha a decomposição de pressão inalterada, mas selecione uma lei constitutiva que relacione a tensão desviadora à viscosidade medida dependente da taxa.
Se o seu foco principal é a operação transiente ou turbulenta: Distinga a tensão viscosa molecular da tensão turbulenta modelada para que a perda de pressão e o transporte de momento não sejam subestimados.

Separar a pressão isotrópica da tensão dependente da deformação dá aos modelos de plantas piloto uma base física clara para prever o comportamento de fluxo, atrito, mistura, separação e escalonamento.

Tabela de resumo:

Componente de tensão	Significado físico	Principal papel na modelagem	Aplicações em plantas piloto
Pressão estática	Tensão normal isotrópica agindo igualmente em todas as direções	Impulsiona o fluxo e estabelece a carga hidrostática	Tubulações, canais, colunas, decantadores
Tensão viscosa molecular	Tensão desviadora causada por gradientes de velocidade	Modela atrito na parede, difusão de momento e deformação	Bombas, trocadores de calor, tanques agitados
Tensão turbulenta de Reynolds	Transporte de momento causado por flutuações de velocidade	Representa tensão aparente adicional no fluxo turbulento	Tubulações de alto fluxo, mistura, escalonamento
Tensão não Newtoniana	Tensão desviadora dependente da taxa baseada na reologia do fluido	Prevê comportamento de cisalhamento, torque e fluxo em fluidos complexos	Soluções poliméricas, suspensões, caldos de fermentação

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