Para um escoamento laminar plenamente desenvolvido em um tubo circular, a queda de pressão e a distribuição de velocidade são calculadas a partir da solução de Hagen–Poiseuille. Quando o número de Reynolds está abaixo de aproximadamente 2.300, a velocidade média e a queda de pressão por atrito estão relacionadas linearmente: (\Delta P = 32\mu L\bar{u}/D^2). O perfil de velocidade é parabólico, com a velocidade na linha de centro igual ao dobro da velocidade média da seção transversal.

Conclusão principal: No escoamento laminar em tubulações de plantas-piloto, a viscosidade controla a perda de pressão, e a rugosidade da parede do tubo não tem efeito direto no fator de atrito plenamente desenvolvido. Uma vez conhecidos a queda de pressão, as dimensões do tubo e as propriedades do fluido, a velocidade de escoamento pode ser calculada diretamente sem a necessidade de iterar sobre uma correlação de fator de atrito turbulento.

Estabelecendo a base para o escoamento laminar

Calcule o número de Reynolds

O regime de escoamento é identificado usando o número de Reynolds do tubo:

[ Re=\frac{\rho \bar{u}D}{\mu} ]

onde:

(\rho) é a densidade do fluido,
(\bar{u}) é a velocidade média no tubo,
(D) é o diâmetro interno do tubo,
(\mu) é a viscosidade dinâmica.

Para tubulações circulares, o escoamento é geralmente tratado como laminar quando (Re<2{,}300). A faixa de transição não é claramente definida, portanto, plantas-piloto devem evitar depender de um valor limite quando um comportamento operacional estável for importante.

Confirme a suposição de escoamento plenamente desenvolvido

As equações de Hagen–Poiseuille aplicam-se após o perfil de velocidade ter se desenvolvido a jusante de uma entrada, conexão, válvula, bomba ou outra perturbação.

Próximo à entrada e a jusante de conexões, o escoamento pode estar em desenvolvimento ou localmente perturbado. Essas regiões requerem estimativas separadas de perda de entrada ou perda em conexões e não devem ser representadas apenas pela equação de tubo plenamente desenvolvido.

Calculando a distribuição de velocidade

Use o perfil parabólico

Para um tubo de raio (R=D/2), a velocidade axial na posição radial (r) é:

[ u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]

Na linha de centro, (r=0), portanto:

[ u_{\max}=u(0) ]

Na parede, (r=R), a condição de não deslizamento resulta em:

[ u(R)=0 ]

Este perfil é a distribuição de velocidade característica para escoamento laminar plenamente desenvolvido em um tubo circular.

Relacione a velocidade da linha de centro com a velocidade média

A velocidade média da seção transversal é:

[ \bar{u}=\frac{1}{A}\int_A u,dA ]

Para o perfil parabólico, a integração resulta em:

[ u_{\max}=2\bar{u} ]

Portanto, a distribuição de velocidade também pode ser escrita como:

[ u(r)=2\bar{u}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]

O perfil é mais rápido no centro e diminui continuamente até zero na parede.

Converta a velocidade em vazão volumétrica

Uma vez conhecida a velocidade média, a vazão volumétrica é:

[ Q=\bar{u}A ]

Para um tubo circular:

[ Q=\bar{u}\frac{\pi D^2}{4} ]

A velocidade da linha de centro não deve ser usada como a velocidade média de escoamento em cálculos de bomba, dimensionamento de tubos ou vazão. Usar (u_{\max}) diretamente superestimaria a vazão por um fator de dois.

Calculando a queda de pressão

Use a equação de Hagen–Poiseuille

Para um tubo circular reto transportando um fluido newtoniano sob condições laminares plenamente desenvolvidas:

[ \Delta P_f=\frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]

Equivalentemente, em termos de vazão volumétrica:

[ \Delta P_f=\frac{128\mu LQ}{\pi D^4} ]

onde (\Delta P_f) é a queda de pressão por atrito e (L) é o comprimento do tubo.

Essas equações mostram o comportamento chave do escoamento laminar:

[ \Delta P_f\propto \bar{u} ]

A queda de pressão é diretamente proporcional à velocidade média, ao contrário da relação aproximadamente quadrática comumente usada para escoamento totalmente turbulento.

Calcule o gradiente de pressão

A perda de pressão por unidade de comprimento do tubo é:

[ -\frac{dP}{dz}=\frac{32\mu\bar{u}}{D^2} ]

Para um tubo uniforme, o gradiente de pressão é constante ao longo da seção plenamente desenvolvida.

O sinal negativo indica que a pressão diminui na direção do escoamento. Em cálculos de engenharia, (\Delta P_f) é geralmente relatado como uma magnitude de perda positiva.

Use a forma do fator de atrito

Usando o fator de atrito de Darcy, comumente denotado por (\lambda):

[ \lambda=\frac{64}{Re} ]

A equação de queda de pressão de Darcy–Weisbach é:

[ \Delta P_f=\lambda\frac{L}{D}\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]

Substituindo (\lambda=64/Re) e (Re=\rho\bar{u}D/\mu) resulta em:

[ \Delta P_f= \frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]

Assim, as formas do fator de atrito e de Hagen–Poiseuille são equivalentes quando a mesma convenção de fator de atrito é usada.

Distinga os fatores de Darcy e Fanning

O resultado (\lambda=64/Re) aplica-se ao fator de atrito de Darcy.

O fator de atrito de Fanning correspondente é:

[ f_F=\frac{16}{Re} ]

Confundir essas duas definições produz um erro de fator de quatro na perda de pressão calculada. A documentação da planta-piloto deve declarar qual convenção está sendo usada.

Resolvendo a velocidade a partir de uma queda de pressão especificada

Calcule a velocidade diretamente no regime laminar

Rearranjar a equação de Hagen–Poiseuille resulta em:

[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]

A vazão volumétrica correspondente é:

[ Q=\frac{\pi D^2}{4}\bar{u} ]

ou:

[ Q=\frac{\pi D^4\Delta P_f}{128\mu L} ]

Esta solução direta é uma característica importante do escoamento laminar. A queda de pressão não requer um cálculo iterativo do fator de atrito, pois o fator de atrito já foi reduzido à relação explícita (64/Re).

Verifique o número de Reynolds resultante

Após calcular (\bar{u}), avalie:

[ Re=\frac{\rho\bar{u}D}{\mu} ]

O resultado deve permanecer dentro da faixa laminar pretendida. Se o valor calculado se aproximar ou exceder a região de transição, o resultado de Hagen–Poiseuille não é mais suficiente para um projeto confiável.

Use o grupo de queda de pressão quando o regime for incerto

Para cálculos de escoamento em tubos mais gerais, um grupo independente da velocidade pode ser formado como:

[ \phi Re^2= \frac{\Delta P_fD^3\rho}{4L\mu^2} ]

A interpretação exata de (\phi) depende da notação de fator de atrito usada pela fonte ou gráfico. Portanto, sua definição deve ser verificada antes de aplicar um gráfico de atrito.

Para um caso confirmado de tubo circular laminar, o uso direto de:

[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]

é mais claro e menos propenso a erros do que ler (Re) de um gráfico generalizado.

Conectando o cálculo à operação da planta-piloto

Determine a carga da bomba

A queda de pressão por atrito pode ser convertida em perda de carga por atrito:

[ h_f=\frac{\Delta P_f}{\rho g} ]

onde (g) é a aceleração da gravidade.

A bomba também deve superar mudanças de elevação, diferenças de pressão entre equipamentos, conexões, válvulas, trocadores de calor e outras perdas do sistema. A perda de Hagen–Poiseuille em tubo reto é apenas um componente do requisito total da bomba.

Considere as propriedades do fluido

A perda de pressão laminar depende fortemente da viscosidade dinâmica:

[ \Delta P_f\propto\mu ]

Mudanças de temperatura podem, portanto, alterar a queda de pressão substancialmente, especialmente para líquidos viscosos. Os cálculos da planta-piloto devem usar a viscosidade na temperatura operacional real, em vez de um valor padrão ou de temperatura ambiente.

Use o diâmetro interno do tubo

Como a perda de pressão escala com (D^{-2}) a uma velocidade média especificada, e a forma da vazão escala com (D^{-4}), pequenos erros no diâmetro podem afetar materialmente o resultado.

O diâmetro interno deve considerar a especificação real do tubo ou tubulação, revestimento, margem de corrosão quando relevante e quaisquer restrições criadas por conexões ou instrumentação.

Compare valores medidos e previstos

Uma planta-piloto oferece uma oportunidade útil para validar o modelo usando tomadas de pressão e um medidor de vazão.

Uma comparação deve levar em conta o espaçamento das tomadas de pressão, elevação, calibração do instrumento, conexões dentro da seção medida, efeitos de escoamento em desenvolvimento e mudanças na temperatura do fluido. Uma diferença de pressão medida em um módulo completo pode incluir muito mais do que apenas o atrito em tubo reto.

Entendendo as compensações

O modelo assume comportamento newtoniano

A equação de Hagen–Poiseuille usa uma viscosidade dinâmica constante. É apropriada para líquidos newtonianos quando a viscosidade está suficientemente bem caracterizada.

Soluções poliméricas, pastas, emulsões e outros fluidos não newtonianos podem exigir um modelo reológico e uma relação diferente entre queda de pressão e vazão.

O escoamento plenamente desenvolvido exclui perdas locais

Válvulas, cotovelos, tês, redutores, entradas, saídas e medidores de vazão criam perdas de pressão locais. Estas são comumente representadas com coeficientes de perda:

[ \Delta P_{\text{minor}}=K\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]

A queda de pressão total do sistema é, portanto:

[ \Delta P_{\text{total}}= \Delta P_f+\sum\Delta P_{\text{minor}}+\Delta P_{\text{elevation}}+\Delta P_{\text{equipment}} ]

A equação de tubo plenamente desenvolvido não deve ser usada para absorver todos esses efeitos sem qualificação.

A rugosidade não é uma correção laminar de primeira ordem

Para escoamento laminar plenamente desenvolvido, o fator de atrito é:

[ \lambda=\frac{64}{Re} ]

e é independente da rugosidade relativa no modelo de engenharia usual. A rugosidade ainda pode importar através de defeitos de fabricação, incrustações, depósitos ou perturbações que invalidam a suposição idealizada de escoamento liso e plenamente desenvolvido.

A transição introduz incerteza

O intervalo próximo à transição de laminar para turbulento é sensível a perturbações e condições operacionais. Uma planta-piloto pode apresentar comportamento diferente de uma correlação ideal devido à pulsação da bomba, conexões a montante, recirculação ou mudanças nas propriedades do fluido.

Os projetos devem evitar tratar um número de Reynolds de transição como definitivamente laminar ou turbulento.

Como aplicar isso à sua planta-piloto

Use a seguinte sequência ao avaliar uma seção de tubo circular:

Se o seu foco principal é a previsão de queda de pressão: Calcule (Re), confirme o escoamento laminar plenamente desenvolvido e use (\Delta P_f=32\mu L\bar{u}/D^2).
Se o seu foco principal é a velocidade a partir de uma queda de pressão conhecida: Use (\bar{u}=\Delta P_fD^2/(32\mu L)), depois verifique o número de Reynolds resultante.
Se o seu foco principal é a vazão volumétrica: Converta a velocidade média com (Q=\bar{u}\pi D^2/4), usando o diâmetro interno real.
Se o seu foco principal é a seleção da bomba: Adicione o atrito em tubo reto, perdas em conexões, perdas em equipamentos, mudanças de elevação e a pressão necessária a jusante.
Se o seu foco principal é a validação experimental: Meça a pressão ao longo de um comprimento conhecido de tubo reto e compare o gradiente de pressão com (32\mu\bar{u}/D^2).
Se o seu foco principal é a operação não newtoniana ou de transição: Trate o resultado de Hagen–Poiseuille como uma referência limitada e use um modelo apropriado para o fluido e o regime de escoamento.

Com as propriedades corretas do fluido, dimensões do tubo, regime de escoamento e limites do sistema, o escoamento laminar em plantas-piloto pode ser calculado diretamente e interpretado com confiança.

Tabela de resumo:

Cálculo	Fórmula	Nota técnica chave
Número de Reynolds	`Re = rho u-bar D / mu`	Escoamento laminar é geralmente `Re < 2.300`.
Perfil de velocidade	`u(r) = 2u-bar[1 - (r/R)^2]`	O perfil é parabólico; a velocidade na parede é zero.
Velocidade na linha de centro	`u-max = 2u-bar`	Não use a velocidade da linha de centro como velocidade média de escoamento.
Queda de pressão	`Delta P-f = 32muL u-bar / D^2`	Válido para fluido newtoniano e escoamento laminar plenamente desenvolvido.
Forma da vazão	`Delta P-f = 128muLQ / (piD^4)`	Pequenas mudanças no diâmetro interno podem afetar significativamente a perda.
Fator de atrito de Darcy	`lambda = 64/Re`	Não confunda com o fator de Fanning, `16/Re`.
Carga de atrito da bomba	`h-f = Delta P-f / (rho g)`	Adicione perdas de conexões, equipamentos, elevação e pressão necessária.
Limitações operacionais	Valide temperatura, reologia e efeitos de transição	Escoamento não newtoniano, em desenvolvimento ou de transição requer análise adicional.

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