As equações independentes de balanço de matéria são estabelecidas escrevendo uma equação de conservação para cada espécie ou componente distinto acompanhado de forma independente. Para uma operação de separação celular ou mistura de gases com três componentes, isso resulta em três balanços independentes de componentes, como balanços para células, meio dissolvido e outro soluto, ou para três espécies gasosas. Também pode ser escrito um balanço de massa ou molar total, mas ele é apenas a soma desses balanços de componentes e, portanto, não fornece uma equação independente adicional.

O número de balanços de matéria independentes é determinado pelo número de componentes conservados distintos, não pelo número de correntes nem pela possibilidade de escrever balanços somados adicionais. Esses balanços devem ser combinados com as especificações do processo e as restrições das correntes até que o número de equações independentes corresponda ao número de incógnitas.

Comece com Limites do Sistema Claramente Definidos

Defina a Operação Unitária

Desenhe um limite ao redor do equipamento específico ou da seção do processo que está sendo analisada.

Para um sistema-piloto de separação celular, o limite pode abranger uma centrífuga, um separador por membrana ou uma unidade de filtração. Para um sistema de mistura de gases, pode abranger o manifold de mistura e incluir cada entrada e a saída combinada.

Apenas as correntes que atravessam esse limite aparecem nas equações de balanço.

Separe os Balanços Globais e Locais

Um balanço global ao redor de uma planta-piloto inteira inclui as correntes externas de alimentação e produto, mas exclui as correntes internas que conectam unidades individuais.

Um balanço local ao redor de um separador, misturador, junção ou ponto de divisão inclui apenas as correntes que entram e saem desse subsistema. Os balanços locais são frequentemente necessários para determinar as vazões e composições das correntes internas.

Escolha uma Base de Cálculo

A base pode ser um intervalo de tempo especificado, como uma hora de operação contínua, ou uma quantidade fixa de alimentação.

Para uma operação em estado estacionário, o acúmulo é zero, portanto o balanço de cada componente tem a forma geral:

[ \text{Entrada do componente}=\text{Saída do componente} ]

Para uma operação transiente, o acúmulo deve ser incluído:

[ \text{Entrada}-\text{Saída}=\text{Acúmulo} ]

Escreva um Balanço para Cada Componente Independente

Identifique os Componentes Conservados

Liste as espécies ou categorias de materiais cujas quantidades devem ser acompanhadas de forma independente.

Os exemplos incluem:

Células, meio e soluto dissolvido em um processo de separação celular
Oxigênio, nitrogênio e dióxido de carbono em um processo de mistura de gases
Solvente e soluto em uma operação de diluição ou concentração

As categorias devem ser suficientemente distintas para que a quantidade de uma não possa ser calculada apenas a partir das quantidades das outras.

Use Vazões de Componentes como Variáveis

Para a corrente (s) e o componente (i), defina uma vazão de componente, por exemplo:

[ F_{i,s} ]

O balanço para o componente (i) através de uma unidade em estado estacionário é:

[ \sum_{\text{entradas}} F_{i,s}

\sum_{\text{saídas}} F_{i,s} ]

Escrever os balanços em termos de vazões de componentes mantém as equações lineares quando as relações do processo são lineares.

Exemplo: Separador de Três Componentes

Suponha que um separador receba a corrente de alimentação (F) e produza as correntes (P) e (W), contendo os componentes (A), (B) e (C).

Os balanços independentes são:

[ F_A=P_A+W_A ]

[ F_B=P_B+W_B ]

[ F_C=P_C+W_C ]

Essas equações impõem independentemente a conservação dos três componentes.

Também pode ser escrito um balanço total:

[ F_A+F_B+F_C

P_A+P_B+P_C+W_A+W_B+W_C ]

Entretanto, essa equação total é obtida pela soma das três equações de componentes. Ela é matematicamente dependente e não pode ser contabilizada como um quarto balanço independente.

Adicione Especificações e Restrições das Correntes

Use Relações Conhecidas de Separação ou Mistura

Os balanços de componentes, por si só, podem não determinar todas as variáveis desconhecidas das correntes.

As relações independentes adicionais podem incluir:

Uma recuperação especificada de células na corrente de produto
Uma fração de divisão conhecida para um componente gasoso
Uma concentração de saída desejada
Uma razão predefinida entre duas vazões de entrada
Uma pureza ou eficiência de remoção conhecida
Uma vazão total medida

Por exemplo, um separador de células com recuperação (R) pode usar:

[ P_{\text{células}}=R F_{\text{células}} ]

Um misturador de gases com uma fração molar de saída especificada pode usar:

[ y_{\mathrm{CO_2},out}=y_{\mathrm{CO_2},target} ]

Essas são especificações do processo, não leis de conservação adicionais.

Imponha as Restrições de Soma das Frações

Se uma corrente for descrita usando frações mássicas ou molares, as frações devem somar um:

[ \sum_i w_{i,s}=1 ]

[ \sum_i y_{i,s}=1 ]

Para uma corrente com três componentes:

[ w_A+w_B+w_C=1 ]

Essa restrição é necessária quando as variáveis de composição são desconhecidas. É uma condição de normalização física, não um quarto balanço de componentes.

Diferencie Relações Independentes de Relações Redundantes

Uma relação adiciona informação útil somente se não puder ser derivada das equações já incluídas.

Por exemplo, o balanço total é redundante quando todos os balanços de componentes estão presentes. Da mesma forma, especificar duas de três frações molares pode já determinar a terceira por meio da restrição de soma das frações.

O objetivo não é maximizar o número de equações escritas. É obter o número correto de equações independentes.

Verifique a Independência e os Graus de Liberdade

Forme a Matriz de Coeficientes

Quando as equações forem lineares, escreva-as na forma matricial:

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

Aqui, (\mathbf{x}) contém as vazões de componentes desconhecidas, as vazões totais ou as variáveis de composição.

O posto de (A) fornece o número de equações independentes representadas pelo sistema. Se uma linha for uma combinação linear de outras linhas, ela não aumentará o posto.

Realize uma Análise dos Graus de Liberdade

Calcule:

[ \text{Graus de liberdade}

\text{número de incógnitas}

\text{número de equações independentes} ]

Um modelo totalmente especificado geralmente possui zero graus de liberdade.

Graus de liberdade positivos significam que são necessárias medições ou especificações adicionais.
Zero graus de liberdade indica um modelo exatamente especificado.
Graus de liberdade negativos indicam que podem estar presentes informações redundantes ou conflitantes.

Verifique o Modelo Antes de Resolver

Um solucionador pode retornar um resultado numérico mesmo quando o modelo está mal formulado, especialmente se os dados forem arredondados ou se as equações forem quase dependentes.

Verifique o posto da matriz, os erros residuais e a viabilidade física da solução. As vazões e concentrações não devem ser negativas, a menos que a definição da variável permita especificamente quantidades com sinal.

Aplique o Método a Sistemas-Piloto Típicos

Sistemas de Separação Celular

Trate a população celular como um componente conservado separadamente quando as células não forem criadas nem destruídas dentro do separador.

Para um separador com correntes de alimentação, células concentradas e líquido clarificado, um balanço de células pode ser escrito como:

[ F_{\text{células}}

P_{\text{células}}+W_{\text{células}} ]

Balanços adicionais podem acompanhar solutos dissolvidos, sólidos suspensos ou solvente, dependendo do modelo pretendido.

Se a operação causar crescimento celular, morte, lise ou reação química, os termos correspondentes de fonte ou sumidouro deverão ser incluídos. Um balanço simples de separador é válido somente quando esses efeitos forem desprezíveis ou deliberadamente excluídos.

Sistemas de Mistura de Gases

Para a mistura de gases não reativos, escreva um balanço molar para cada espécie gasosa.

Para a espécie (i):

[ \sum_k F_{i,k}=F_{i,out} ]

Se a entrada (k) tiver vazão molar total (F_k) e fração molar (y_{i,k}), então:

[ F_{i,k}=F_k y_{i,k} ]

A composição de saída é obtida por:

[ y_{i,out}

\frac{\sum_k F_k y_{i,k}}{\sum_k F_k} ]

As frações molares de saída também devem satisfazer:

[ \sum_i y_{i,out}=1 ]

Essa relação final é uma restrição de consistência e é dependente do conjunto completo de balanços de componentes e da definição da vazão total de saída.

Várias Unidades Conectadas

Para um sistema contendo misturadores, separadores, reatores e divisores, estabeleça balanços no nível necessário para responder à questão em análise.

Use um limite global para verificar a conservação geral e use limites de unidades individuais para determinar as variáveis das correntes internas. As correntes internas se cancelam no balanço global, mas continuam sendo essenciais nos balanços locais.

Compreendendo as Compensações

Os Balanços Totais São Úteis, mas Não Independentes

Um balanço total ainda é valioso para verificar cálculos e detectar inconsistências nas medições.

Ele simplesmente não pode ser contabilizado adicionalmente a todos os balanços de componentes correspondentes. Se apenas alguns balanços de componentes forem usados, um balanço total poderá fornecer informações independentes, mas sua independência deverá ser verificada em relação às equações já presentes.

As Variáveis de Composição Podem Criar Equações Não Lineares

Usar simultaneamente a vazão total e a composição pode produzir produtos de incógnitas:

[ F_s y_{i,s} ]

Se tanto (F_s) quanto (y_{i,s}) forem desconhecidos, a equação será não linear.

Usar vazões de componentes (F_{i,s}) como incógnitas principais frequentemente produz um modelo linear mais simples. A vazão total e a composição podem então ser calculadas posteriormente, quando apropriado.

As Medições Podem Ser Inconsistentes

Os sensores de plantas-piloto raramente satisfazem exatamente todas as equações de conservação devido a erros de calibração, ruído, diferenças de amostragem ou perdas não medidas.

Quando os dados medidos superdeterminam o modelo, os engenheiros podem usar métodos de reconciliação de dados ou mínimos quadrados. As equações de conservação continuam sendo a base física, enquanto a incerteza das medições determina como os desvios serão tratados.

Sistemas Reativos Exigem Termos Adicionais

Para uma unidade reativa, o balanço de uma espécie não é simplesmente entrada igual à saída.

O balanço geral em estado estacionário é:

[ \text{Entrada}-\text{Saída} + \text{Geração por reação}

\text{Consumo por reação} =0 ]

Extensões de reação ou taxas de reação independentes podem ser introduzidas para representar esses termos de fonte e sumidouro. Isso é diferente de um separador ou misturador não reativo, no qual as espécies são apenas redistribuídas.

Como Aplicar Isso ao Seu Projeto

O conjunto correto de equações depende das variáveis selecionadas e das especificações disponíveis.

Se seu foco principal for a separação celular: Escreva balanços independentes para as células e para todas as outras categorias de materiais que devem ser acompanhadas; em seguida, adicione especificações de recuperação, pureza, divisão ou concentração.
Se seu foco principal for a mistura de gases: Escreva um balanço molar para cada espécie gasosa, use as vazões e composições de entrada conhecidas e imponha a soma das frações molares de saída.
Se seu foco principal for uma planta-piloto com várias unidades: Defina limites globais e locais, faça o balanço de cada subsistema necessário e exclua as correntes internas apenas do balanço global.
Se seu foco principal for a solução numérica: Use vazões de componentes sempre que possível, avalie o posto da matriz e confirme que os graus de liberdade são zero.
Se seu foco principal forem dados medidos de uma planta-piloto: Use os balanços independentes como restrições de conservação e reconcilie as medições inconsistentes, em vez de adicionar equações redundantes.

Os balanços de matéria independentes são estabelecidos associando cada componente conservado independentemente a um conjunto completo de restrições físicas e de processo não redundantes.

Tabela-Resumo:

Aspecto principal	Orientação prática
Balanços independentes	Escreva uma equação de conservação para cada componente ou espécie acompanhada de forma independente.
Sistemas de separação celular	Acompanhe células, meio dissolvido, solutos ou outras categorias de materiais relevantes.
Sistemas de mistura de gases	Escreva um balanço molar para cada espécie gasosa usando as vazões de entrada e as frações molares.
Balanço total	Use-o como uma verificação útil, mas não o contabilize como independente quando todos os balanços de componentes estiverem incluídos.
Equações adicionais	Adicione restrições de recuperação, pureza, divisão, concentração, vazão e soma das frações conforme necessário.
Validação do modelo	Verifique o posto da matriz, os graus de liberdade, os resíduos e a viabilidade física.
Sistemas reativos	Inclua termos de geração e consumo para reações, crescimento, morte ou lise.

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