O torque teórico sobre uma esfera em rotação em escoamento rastejante é (G=-8\pi\mu\omega R^3), onde (G) é o torque de resistência hidrodinâmica, (\mu) é a viscosidade dinâmica, (\omega) é a velocidade angular e (R) é o raio da esfera. O sinal negativo indica que o torque do fluido se opõe à rotação da esfera; seu módulo é (8\pi\mu\omega R^3). Em equipamentos didáticos de viscosimetria para operações unitárias, essa relação linear entre torque e velocidade permite que os estudantes calculem diretamente a viscosidade a partir do torque medido e da velocidade de rotação.

Para uma esfera em rotação em um fluido efetivamente ilimitado, com número de Reynolds muito baixo, (\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3). Portanto, uma medição do torque com (R) e (\omega) conhecidos fornece (\mu=\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega)), desde que sejam válidas as suposições de escoamento rastejante e efeitos desprezíveis das paredes.

Por que o torque é linear em relação à velocidade angular

Condições de escoamento rastejante

O resultado se aplica quando o número de Reynolds é muito menor que um:

[ \mathrm{Re}\ll 1 ]

Nessa condição, os efeitos inerciais são desprezíveis em comparação com os efeitos viscosos. Portanto, o movimento do fluido é governado pelas equações lineares de Stokes, fazendo com que o torque resistente seja diretamente proporcional à velocidade angular.

Campo de velocidades ao redor da esfera

Para uma esfera girando em torno de um eixo, a velocidade do fluido é puramente azimutal. Em coordenadas esféricas, o campo de velocidades é

[ v_\phi(r,\theta)=\frac{\omega R^3\sin\theta}{r^2} ]

onde (r) é a distância até o centro da esfera e (\theta) é o ângulo polar medido a partir do eixo de rotação.

Esse campo satisfaz a condição de não deslizamento na superfície da esfera e diminui à medida que se afasta da esfera.

Tensão de cisalhamento superficial

A tensão de cisalhamento azimutal na superfície da esfera é obtida a partir de

[ \tau_{r\phi}

\mu r\frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{v_\phi}{r}\right) ]

Substituindo o perfil de velocidade e avaliando em (r=R), obtém-se

[ \tau_{r\phi}(R,\theta)

-3\mu\omega\sin\theta ]

A tensão é máxima próxima ao equador da esfera, onde (\sin\theta) é maior, e se anula nos polos de rotação.

Derivação do torque de resistência

Contribuição de um elemento de superfície

Um elemento de superfície da esfera é

[ dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi ]

O braço de momento local em relação ao eixo de rotação é

[ R\sin\theta ]

Assim, o torque diferencial é a força de cisalhamento sobre o elemento de superfície multiplicada por esse braço de momento:

[ dG

\tau_{r\phi}(R,\theta) \left(R\sin\theta\right)dA ]

Integração sobre a esfera

Integrando sobre toda a superfície esférica, obtém-se

[ G

\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left(-3\mu\omega\sin\theta\right) \left(R\sin\theta\right) \left(R^2\sin\theta\right) ,d\theta,d\phi ]

Portanto,

[ G

-3\mu\omega R^3 \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin^3\theta,d\theta,d\phi ]

Usando

[ \int_0^{2\pi}d\phi=2\pi \qquad\text{e}\qquad \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta=\frac{4}{3} ]

obtém-se

[ \boxed{G=-8\pi\mu\omega R^3} ]

O módulo do torque de resistência relevante experimentalmente é

[ \boxed{\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3} ]

Como a expressão é utilizada em equipamentos didáticos de viscosimetria

Conversão do torque em viscosidade

Um viscosímetro didático utiliza um motor para girar a esfera a uma velocidade angular conhecida e mede o torque necessário para manter essa rotação. Reorganizando a expressão teórica, obtém-se

[ \boxed{\mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega}} ]

Assim, os estudantes podem determinar a viscosidade dinâmica a partir de três grandezas:

torque de resistência medido, (G);
raio da esfera, (R);
velocidade angular, (\omega).

Demonstração da viscosimetria rotacional

O equipamento torna mensurável o significado físico da viscosidade. Um fluido mais viscoso produz maior resistência à mesma velocidade de rotação, enquanto o aumento da velocidade de rotação produz um torque viscoso proporcionalmente maior.

A relação esperada é

[ \lvert G\rvert\propto\omega ]

Portanto, um gráfico do torque medido em função da velocidade angular deve ser linear dentro da faixa de operação de escoamento rastejante. Sua inclinação é

[ \frac{\lvert G\rvert}{\omega}=8\pi\mu R^3 ]

que pode ser utilizada para calcular a viscosidade.

Conectando a teoria às operações unitárias

Em um laboratório de operações unitárias, o equipamento ilustra como as propriedades de transporte são obtidas a partir de medições mecânicas controladas. Os estudantes relacionam a derivação da mecânica dos fluidos a um procedimento operacional que envolve controle da velocidade, medição do torque, coleta de dados e cálculo da viscosidade.

O experimento também mostra por que a geometria do equipamento é importante: o torque depende do raio da esfera por meio de (R^3), portanto o raio deve ser conhecido com precisão.

Redução das correções de interferência das paredes

A expressão teórica descreve uma esfera em rotação em um fluido efetivamente ilimitado. Quando a esfera está suficientemente afastada das paredes do recipiente, a relação ideal pode ser aplicada sem correções complexas de interferência das paredes.

Isso torna a configuração de esfera rotativa útil para o ensino do princípio fundamental da medição de viscosidade de forma relativamente direta.

Compreendendo as compensações

A suposição de escoamento rastejante é essencial

A expressão é válida para (\mathrm{Re}\ll1). Em números de Reynolds mais altos, os efeitos inerciais tornam-se significativos e o torque pode deixar de variar linearmente com a velocidade angular.

Consequentemente, aumentar indefinidamente a velocidade não preserva a calibração teórica.

A proximidade das paredes pode alterar o torque medido

A derivação pressupõe que o fluido ao redor se estende suficientemente para longe da esfera. Paredes próximas do recipiente restringem o escoamento e podem aumentar o torque de resistência medido.

Se o equipamento não fornecer uma folga adequada, a equação ideal poderá subestimar a viscosidade real, a menos que seja aplicada uma correção.

Na prática, o torque inclui mais do que a contribuição ideal do fluido

Um instrumento real pode medir, além do torque hidrodinâmico da esfera, o atrito mecânico, a resistência dos rolamentos ou desvios do sensor. Essas contribuições devem ser identificadas por meio de medições apropriadas de zero ou de linha de base, quando o equipamento permitir.

A equação teórica deve ser aplicada ao torque hidrodinâmico corrigido.

A geometria e as condições operacionais devem permanecer controladas

A relação pressupõe uma esfera de raio conhecido girando de forma constante em um fluido newtoniano uniforme. Alterações no tamanho da esfera, na velocidade, na temperatura ou nas condições do fluido podem afetar a interpretação da medição.

Para fins didáticos, essas variáveis devem ser registradas e mantidas constantes ou tratadas explicitamente durante a análise dos dados.

Aplicação da relação no laboratório

O cálculo prático decorre diretamente do resultado teórico:

[ \mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega} ]

Se o seu foco principal for determinar a viscosidade: meça o torque de resistência em regime permanente a uma velocidade angular conhecida e calcule (\mu) usando (\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega)).
Se o seu foco principal for validar a teoria: meça o torque em vários pontos de operação com baixa velocidade e verifique se a relação entre torque e velocidade é linear.
Se o seu foco principal for ensinar as limitações experimentais: compare a previsão ideal com as medições, considerando o número de Reynolds, a proximidade das paredes, o arrasto mecânico e a temperatura.
Se o seu foco principal for a calibração do equipamento: utilize um fluido de viscosidade conhecida para verificar a resposta do torque e identificar qualquer torque de linha de base ou desvio sistemático.

O experimento da esfera rotativa transforma a lei do torque em escoamento de Stokes em um método direto e didático para medir a viscosidade e avaliar as suposições por trás da instrumentação de operações unitárias.

Tabela-resumo:

Aspecto principal	Resumo
Expressão do torque	(G=-8\pi\mu\omega R^3)
Módulo do torque	(
Cálculo da viscosidade	(\mu=
Validade	Escoamento rastejante com (\mathrm{Re}\ll1)
Tendência esperada	O torque de resistência aumenta linearmente com a velocidade angular
Principais variáveis	Torque, raio da esfera, velocidade angular, temperatura e condições do fluido
Considerações práticas	Considerar os efeitos das paredes, o atrito mecânico, os desvios do sensor e a calibração

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