O vetor de tensão é a tração que atua sobre uma superfície, enquanto o tensor de tensão contém o estado de tensão local completo que a gera. Para uma superfície com normal unitária externa n, o vetor de tensão s(n) é obtido aplicando o tensor de tensão σ a essa normal:

[ \mathbf{s}(\mathbf{n})=\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n} ]

De forma equivalente, na convenção de vetor linha usada em alguns textos de mecânica dos fluidos, a mesma relação é escrita como (\mathbf{s}(\mathbf{n})=\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}). O conteúdo físico é idêntico: o tensor mapeia a orientação de uma superfície para a força por unidade de área que atua sobre essa superfície.

O tensor de tensão é a descrição local completa da tensão; o vetor de tensão é a tração específica produzida quando esse tensor atua sobre uma superfície com normal (\mathbf{n}).

O que o Vetor de Tensão Representa

Força por Unidade de Área

O vetor de tensão (\mathbf{s}(\mathbf{n})) representa a força por unidade de área exercida através de uma superfície interna imaginária no fluido.

Sua direção e magnitude dependem da orientação da superfície, especificada pela normal unitária (\mathbf{n}).

A Orientação da Superfície é Importante

O mesmo ponto em um fluido pode experimentar diferentes vetores de tensão em superfícies com orientações distintas.

Uma superfície normal a uma direção coordenada pode experimentar uma combinação diferente de forças normais e tangenciais em comparação com uma superfície com outra orientação.

O que o Tensor de Tensão Contém

O Estado de Tensão Local Completo

O tensor de tensão (\boldsymbol{\sigma}) armazena os componentes de tensão normal e de cisalhamento associados às direções coordenadas em um ponto.

Portanto, ele contém informações suficientes para determinar a tração em qualquer superfície possível que passe por esse ponto.

Mapeamento da Orientação para a Tração

O tensor realiza um mapeamento linear da normal da superfície (\mathbf{n}) para o vetor de tensão correspondente.

Na notação indicial, usando a convenção comum de vetor coluna,

[ s_i(\mathbf{n})=\sigma_{ij}n_j ]

onde (s_i) é o componente (i)-ésimo do vetor de tração e (\sigma_{ij}) é o componente correspondente do tensor de tensão.

Por que o Tetraedro de Cauchy é Importante

O Equilíbrio Local Estabelece a Relação

A relação resulta da análise de um elemento fluido tetraédrico infinitesimal em equilíbrio mecânico.

As forças que atuam sobre suas faces com diferentes orientações devem se equilibrar. À medida que o tetraedro diminui em direção a um ponto, as forças superficiais nas faces alinhadas com as coordenadas determinam a força que atua sobre qualquer face com orientação arbitrária.

Um Tensor Substitui Muitas Medições

O resultado significa que não são necessárias medições de tensão separadas para cada orientação possível da superfície.

Uma vez conhecido (\boldsymbol{\sigma}) em um ponto, (\mathbf{s}(\mathbf{n})) pode ser calculado para qualquer (\mathbf{n}) escolhido.

Separação entre Tensão Normal e de Cisalhamento

Tensão Normal

O componente do vetor de tensão normal à superfície é a tensão normal:

[ s_{\mathrm{normal}}=\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n} ]

Esse componente atua perpendicularmente à superfície.

Tensão Tangencial

O componente restante atua no interior da superfície e representa a tração de cisalhamento:

[ \mathbf{s}_{\mathrm{shear}}

\mathbf{s}(\mathbf{n})

\left[\mathbf{s}(\mathbf{n})\cdot\mathbf{n}\right]\mathbf{n} ]

Essa distinção é importante ao avaliar o atrito na parede, as camadas-limite e as forças do fluido sobre equipamentos imersos.

Como Isso se Aplica aos Sistemas de Transporte de Fluidos

Paredes de Vasos e Recheios Internos

Em uma parede de vaso ou superfície de recheio, a normal local da superfície determina a tração gerada pelo tensor de tensão do fluido.

O vetor de tensão resultante pode ser usado para avaliar tanto o carregamento normal semelhante à pressão quanto o carregamento tangencial de cisalhamento.

Camadas-Limite e Cisalhamento na Parede

Próximo a um contorno sólido, a parte tangencial de (\mathbf{s}(\mathbf{n})) fornece a tração de cisalhamento na parede.

Isso é diretamente relevante para cálculos de arrasto, perda de energia, erosão e forças superficiais.

Cargas Mecânicas

A integração do vetor de tensão sobre uma superfície fornece a força total exercida pelo fluido:

[ \mathbf{F}=\int_A \mathbf{s}(\mathbf{n}),dA ]

Assim, a relação entre tensor e vetor fornece a entrada local para calcular as cargas nas paredes de vasos, tubulações, impelidores e equipamentos internos.

Compreendendo os Compromissos

Os Dados do Tensor de Tensão Devem Ser Precisos

O vetor de tensão é tão confiável quanto o tensor de tensão usado para calculá-lo.

Na dinâmica dos fluidos computacional, a resolução numérica, a modelagem da turbulência e o tratamento próximo à parede podem afetar significativamente as tensões de cisalhamento e as cargas superficiais previstas.

A Convenção do Tensor Deve Ser Consistente

Algumas referências escrevem o mapeamento como (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}), enquanto outras escrevem (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}).

Essas formas refletem diferentes convenções de vetores e índices tensoriais; portanto, a definição dos componentes deve ser verificada antes de combinar equações ou resultados de softwares.

A Tensão Local Não é Igual à Carga Total do Equipamento

O vetor de tensão descreve a força por unidade de área em um ponto da superfície.

Uma carga completa sobre um vaso ou recheio exige a integração desse vetor sobre a superfície relevante, enquanto os momentos também exigem considerar a posição de cada ponto da superfície.

Fazendo a Escolha Certa para o Seu Objetivo

Use o tensor de tensão como ponto de partida, depois selecione a normal da superfície e extraia o componente da força relevante para a questão de engenharia.

• Se seu foco principal for o carregamento superficial: Calcule (\mathbf{s}(\mathbf{n})) a partir do tensor de tensão local e integre-o sobre a superfície da parede ou do equipamento.
• Se seu foco principal for o atrito na parede: Projete (\mathbf{s}(\mathbf{n})) sobre a superfície para isolar a tração tangencial de cisalhamento.
• Se seu foco principal for pressão ou compressão: Projete (\mathbf{s}(\mathbf{n})) sobre (\mathbf{n}) para obter a tensão normal.
• Se seu foco principal for comparar equações ou softwares: Verifique se a implementação usa (\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n}) ou a forma equivalente de vetor linha (\mathbf{n}\cdot\boldsymbol{\sigma}).

Conhecer o tensor de tensão em um ponto fornece o vetor de tensão em todas as orientações de superfície que passam por esse ponto.

Tabela Resumida:

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