O método analítico consiste em resolver o campo de escoamento de Stokes ao redor do objeto em rotação, calcular a tensão de cisalhamento superficial e integrar essa tensão para obter o torque. Para uma esfera submersa de raio (R) girando com velocidade angular (\omega) em um fluido newtoniano de viscosidade (\mu), a solução para baixo número de Reynolds fornece o torque resistivo

[ G=-8\pi\mu\omega R^3 ]

onde o sinal negativo indica que o torque hidrodinâmico se opõe à rotação.

No escoamento rastejante (creeping flow), o torque é determinado inteiramente por tensões viscosas: resolva as equações lineares de Stokes com a condição de contorno da superfície em rotação, avalie a tensão tangencial na superfície e integre seu momento sobre o objeto.

Por que o método de escoamento de Stokes se aplica

Inércia do fluido desprezível

O método é aplicado quando o número de Reynolds é suficientemente pequeno para que os termos de inércia possam ser desprezados em relação aos termos viscosos. A equação de momento governante torna-se

[ -\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}=0, \qquad \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

Para uma esfera em rotação em um fluido inicialmente em repouso, o escoamento é axisimétrico e puramente azimutal.

Relação linear entre torque e velocidade

Como as equações de Stokes são lineares, o torque é diretamente proporcional à velocidade angular. Também é proporcional à viscosidade do fluido e ao cubo do raio da esfera:

[ |G|=8\pi\mu\omega R^3 ]

Essa proporcionalidade é o análogo rotacional da lei de arrasto linear para uma esfera em translação.

Resolvendo o campo de escoamento rotacional

Aplique as condições de contorno

Use coordenadas esféricas com a esfera centrada na origem. Para uma esfera girando em torno de seu eixo, as condições de velocidade são:

[ v_r=0, \qquad v_\theta=0, \qquad v_\phi(R,\theta)=\omega R\sin\theta ]

A última condição representa a velocidade tangencial da superfície da esfera. Longe da esfera, o fluido está estacionário:

[ v_\phi(r,\theta)\rightarrow 0 \quad \text{como} \quad r\rightarrow\infty ]

Determine a velocidade azimutal

Resolver as equações de Stokes sujeitas a essas condições resulta em

[ v_\phi(r,\theta)

\frac{\omega R^3\sin\theta}{r^2} ]

A velocidade decai como (1/r^2), refletindo a natureza localizada da perturbação rotacional no escoamento rastejante.

Interprete a distribuição do escoamento

A velocidade do fluido é maior no equador da esfera, onde (\sin\theta=1), e desaparece no eixo de rotação. Todo o campo de escoamento é gerado pelo acoplamento viscoso entre a superfície em rotação e o fluido circundante.

Calculando a tensão de cisalhamento superficial

Avalie a tensão tangencial

Para um escoamento azimutal axisimétrico, o componente de tensão relevante em coordenadas esféricas é

[ \tau_{r\phi}

\mu \left( \frac{\partial v_\phi}{\partial r}

\frac{v_\phi}{r} \right) ]

Substituindo o campo de velocidade e avaliando em (r=R), obtém-se

[ \tau_{r\phi}(R,\theta)

-3\mu\omega\sin\theta ]

O sinal negativo mostra que a tensão do fluido se opõe à rotação da esfera.

Considere o braço de alavanca do torque

Um elemento de superfície no ângulo polar (\theta) tem uma distância perpendicular ao eixo de rotação de

[ R\sin\theta ]

O torque diferencial é, portanto, igual à força tangencial no elemento de superfície multiplicada por este braço de momento.

Integrando o torque

Integre sobre a esfera

O elemento de área superficial é

[ dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi ]

Assim, o torque total é

[ G

\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \tau_{r\phi}(R,\theta) (R\sin\theta) R^2\sin\theta ,d\theta,d\phi ]

Substituindo a tensão de cisalhamento, obtém-se

[ G

-3\mu\omega R^3 \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta ]

Usando

[ \int_0^{2\pi}d\phi=2\pi, \qquad \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta=\frac{4}{3} ]

produz

[ \boxed{G=-8\pi\mu\omega R^3} ]

O torque aplicado necessário tem a mesma magnitude e sinal oposto:

[ \boxed{G_{\text{aplicado}}=8\pi\mu\omega R^3} ]

Relacione torque com potência

A potência viscosa necessária para manter a rotação é

[ P=|G|\omega ]

Para a esfera em rotação,

[ \boxed{P=8\pi\mu\omega^2R^3} ]

Isso fornece uma estimativa direta da potência mecânica dissipada no fluido.

Estendendo o método para operações unitárias

Use coeficientes de resistência rotacional

Para outros corpos submersos, o mesmo procedimento é expresso através de um coeficiente de resistência rotacional:

[ G=-\zeta_r\omega ]

Para uma esfera,

[ \zeta_r=8\pi\mu R^3 ]

O coeficiente muda com a forma do objeto, confinamento, proximidade de paredes e a presença de outras superfícies móveis.

Aplique a estrutura a agitadores

Em operações unitárias de baixa velocidade e alta viscosidade, o torque exigido por um impulsor ou agitador rotativo pode ser obtido resolvendo o campo de escoamento rastejante ou determinando um coeficiente de resistência apropriado. O torque resultante suporta cálculos de tensão de cisalhamento, dissipação de potência e requisitos do motor.

Distinga quantidades locais e totais

A distribuição de tensão descreve a carga local do fluido em toda a superfície. O torque integrado é a quantidade global necessária para o dimensionamento de equipamentos e cálculos de potência.

Entendendo as compensações

A suposição de baixo número de Reynolds é restritiva

O resultado analítico assume que a inércia do fluido é desprezível. Se o número de Reynolds não for mais pequeno, a inércia convectiva altera os campos de velocidade e tensão, e a relação (G\propto\mu\omega R^3) pode não ser mais adequada.

O resultado da esfera não é universal

O coeficiente (8\pi) aplica-se especificamente a uma esfera isolada girando em um fluido newtoniano ilimitado. Não deve ser transferido diretamente para impulsores, cilindros, partículas próximas a paredes ou vasos confinados.

O comportamento newtoniano é assumido

A derivação assume viscosidade constante e comportamento constitutivo newtoniano. Soluções poliméricas, suspensões, fluidos biológicos e outros materiais não newtonianos podem exigir um modelo de tensão modificado e uma relação torque-velocidade diferente.

Efeitos de contorno podem ser significativos

Paredes e superfícies próximas alteram o campo de velocidade e aumentam a resistência hidrodinâmica. Em equipamentos de planta piloto, o confinamento pode, portanto, exigir fatores de correção de parede, soluções numéricas de escoamento de Stokes ou calibração experimental.

Fazendo a escolha certa para o seu objetivo

A solução analítica para a esfera é um ponto de referência e um primeiro cálculo prático, mas a geometria e o regime de escoamento devem ser verificados antes de aplicá-los ao equipamento.

Se o seu foco principal é estimar o torque para uma esfera rotativa isolada: Use (G=-8\pi\mu\omega R^3), com o sinal representando a resistência à rotação imposta.
Se o seu foco principal é dimensionar um agitador de baixa velocidade: Determine a resistência rotacional específica da geometria do agitador em vez de aplicar o coeficiente da esfera diretamente.
Se o seu foco principal é prever o cisalhamento local: Use o campo de velocidade e a distribuição de tensão superficial antes de integrar para obter o torque total.
Se o seu foco principal é operar fora do escoamento rastejante: Inclua a inércia do fluido e use uma correlação, modelo numérico ou experimento apropriado para números de Reynolds mais altos.

O princípio governante é simples: resolva o campo de escoamento viscoso, avalie a tensão superficial e integre seu momento para obter o torque hidrodinâmico.

Tabela de resumo:

Aspecto chave	Resultado ou aplicação
Modelo governante	Equações lineares de Stokes para escoamento rastejante
Torque da esfera	`G = -8πμωR³`
Resistência rotacional	`ζᵣ = 8πμR³` para uma esfera isolada
Potência necessária	`P = 8πμω²R³`
Método de cálculo	Resolver o escoamento, avaliar a tensão superficial e integrar seu momento
Principais limitações	Forma, paredes, inércia e fluidos não newtonianos exigem correções ou modelos diferentes

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