Para o escoamento rastejante ao redor de uma partícula esférica, o arrasto hidrodinâmico total é dado pela lei de Stokes, (F_D = 6\pi \mu R U), onde (\mu) é a viscosidade do fluido, (R) é o raio da partícula e (U) é a velocidade relativa entre a partícula e o fluido. A força total é obtida pela integração da tração do fluido sobre toda a superfície esférica. As forças de pressão contribuem com um terço, (F_{D,p}=2\pi\mu R U), enquanto as forças de cisalhamento viscoso contribuem com dois terços, (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U).

No escoamento rastejante, o arrasto da esfera varia linearmente com a viscosidade, o tamanho da partícula e a velocidade relativa. Embora a inércia seja desprezível, o campo de pressão ao redor da esfera ainda contribui com um terço do arrasto; o cisalhamento superficial contribui com os dois terços restantes.

Estabelecendo o Regime de Escoamento Rastejante

O Número de Reynolds Relevante

O escoamento rastejante ocorre quando o número de Reynolds da partícula é muito menor que um:

[ Re_p=\frac{\rho U d}{\mu}\ll 1 ]

onde (\rho) é a densidade do fluido e (d=2R) é o diâmetro da partícula.

Nesses números de Reynolds baixos, os efeitos inerciais são desprezíveis em comparação com os efeitos viscosos. O escoamento é governado principalmente pelo equilíbrio entre os gradientes de pressão e as tensões viscosas.

O Significado da Velocidade Relativa

A velocidade (U) na lei de Stokes é a velocidade relativa entre a partícula e o fluido circundante. Para uma partícula estacionária em um fluido em movimento, (U) é a velocidade local do fluido em relação à partícula.

Para uma partícula em sedimentação, (U) é a velocidade da partícula em relação ao fluido, frequentemente avaliada na velocidade terminal, quando a força resultante é zero.

Calculando o Arrasto Hidrodinâmico Total

Lei de Stokes

A magnitude do arrasto total sobre uma esfera é

[ F_D=6\pi\mu R U ]

Usando o diâmetro em vez do raio, obtém-se a forma equivalente

[ F_D=3\pi\mu d U ]

O arrasto atua no sentido oposto ao movimento relativo da partícula através do fluido.

Integração das Forças Superficiais

A força sobre a partícula resulta da tração do fluido que atua sobre sua superfície. Essa tração tem dois componentes:

[ \text{tração superficial}= \text{tração normal de pressão} + \text{tração viscosa tangencial} ]

A integração de ambos os componentes sobre a superfície esférica resulta em

[ F_D=F_{D,p}+F_{D,\tau} ]

Para uma esfera em escoamento rastejante,

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

Portanto,

[ F_D

2\pi\mu R U+4\pi\mu R U

6\pi\mu R U ]

Contribuições Relativas da Pressão e do Cisalhamento

Contribuição da Pressão

A distribuição de pressão ao redor da esfera produz

[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]

Em relação ao arrasto total,

[ \frac{F_{D,p}}{F_D}

\frac{2\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{1}{3} ]

Assim, a pressão representa aproximadamente 33,3% do arrasto total.

Esse campo de pressão não é um efeito de arrasto de forma inercial no sentido usual associado a números de Reynolds elevados. Embora a inércia seja desprezível, o escoamento viscoso ao redor da esfera exige um gradiente de pressão, e essa distribuição de pressão possui uma componente de força resultante no sentido oposto ao movimento.

Contribuição da Tensão de Cisalhamento

As tensões viscosas tangenciais na superfície da partícula produzem

[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]

Sua fração do arrasto total é

[ \frac{F_{D,\tau}}{F_D}

\frac{4\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}

\frac{2}{3} ]

Portanto, o cisalhamento viscoso representa aproximadamente 66,7% do arrasto total.

Essa contribuição maior reflete a condição de não deslizamento na superfície da partícula. A velocidade do fluido varia rapidamente desde a velocidade da superfície da partícula até a velocidade do escoamento circundante, criando gradientes de velocidade e tensão de cisalhamento tangencial na parede.

A Divisão de Um Terço para Dois Terços

A decomposição da força pode ser resumida como

[ F_D

\underbrace{2\pi\mu R U}{\text{pressão: }1/3} + \underbrace{4\pi\mu R U}{\text{cisalhamento: }2/3} ]

A razão entre o arrasto de pressão e o arrasto de cisalhamento é, portanto,

[ F_{D,p}:F_{D,\tau}=1:2 ]

Essa distinção é útil no ensino de equipamentos, pois os sensores de pressão e as medições de força podem refletir diferentes partes da mesma interação hidrodinâmica.

Relacionando o Resultado aos Equipamentos de Operações Unitárias

Sedimentação e Clarificação

Em experimentos de sedimentação, a lei de Stokes é usada para relacionar o tamanho da partícula, a viscosidade do fluido e a velocidade de sedimentação. Na velocidade terminal de sedimentação, o arrasto equilibra o peso efetivo da partícula:

[ F_D=F_g-F_b ]

onde (F_g) é o peso da partícula e (F_b) é a força de empuxo.

O cálculo do arrasto ajuda os estudantes a analisar a eficiência da sedimentação, o tempo de residência e o desempenho de clarificadores ou colunas de separação.

Medições de Pressão Diferencial

Equipamentos piloto podem medir diferenças de pressão através de canais de escoamento, seções recheadas ou dispositivos de separação. Essas medições representam forças de pressão associadas ao momento do fluido e à resistência viscosa ao longo do equipamento, e não necessariamente o componente de pressão do arrasto sobre uma única esfera isolada.

Consequentemente, uma queda de pressão medida não deve ser automaticamente interpretada como a contribuição de um terço da pressão na lei de Stokes. A geometria da medição e o volume de controle determinam quais forças estão sendo registradas.

Medições de Tensão de Cisalhamento

A tensão de cisalhamento na parede está relacionada ao gradiente de velocidade local por

[ \tau_w

-\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)_{y=0} ]

Essa relação ilustra o mesmo princípio físico responsável pela contribuição de cisalhamento da esfera: a força viscosa surge dos gradientes de velocidade em uma superfície.

As correlações para placas planas, como as relações de atrito para camadas-limite laminares, são úteis em experimentos de escoamento em canais e junto a paredes. Elas não devem ser substituídas diretamente pelo resultado para partículas esféricas, pois a geometria e o campo de velocidades são diferentes.

Compreendendo as Limitações

A Lei de Stokes Tem uma Faixa Limitada de Números de Reynolds

A relação (6\pi\mu R U) é válida quando (Re_p\ll 1). À medida que o número de Reynolds aumenta, a inércia se torna importante e o arrasto deixa de ser estritamente proporcional à velocidade.

Em números de Reynolds mais elevados, a formação de esteira, a separação do escoamento e o arrasto de pressão inercial podem alterar significativamente tanto o arrasto total quanto a distribuição entre pressão e cisalhamento.

A Forma da Partícula é Importante

A divisão de um terço para a pressão e dois terços para o cisalhamento aplica-se a uma esfera ideal, lisa e rígida em um fluido newtoniano ilimitado. Partículas irregulares, fibras, gotículas e partículas biológicas podem apresentar diferentes coeficientes de arrasto e distribuições de tensão.

Próximo a uma parede, dentro de um canal estreito ou entre partículas vizinhas, os limites circundantes modificam o escoamento e aumentam ou alteram de outra forma o arrasto.

As Propriedades do Fluido Devem Ser Aplicadas de Forma Consistente

A viscosidade (\mu) deve ser avaliada nas condições relevantes de temperatura e composição. Para fluidos não newtonianos, um cálculo da lei de Stokes com viscosidade constante única pode não representar com precisão o campo de tensões na escala da partícula.

O fluido também deve ser suficientemente contínuo na escala da partícula para que a mecânica do contínuo seja aplicável. Partículas muito pequenas em regimes rarefeitos ou de microescala podem exigir correções além do resultado clássico.

Pressão e Cisalhamento Não São Sistemas de Escoamento Independentes

A pressão e o cisalhamento são separados matematicamente para identificar suas contribuições à força integrada. Fisicamente, eles são partes acopladas da mesma solução de escoamento ao redor da esfera.

A distribuição de pressão e os gradientes de velocidade superficiais devem, portanto, ser derivados do campo completo de escoamento rastejante, em vez de serem estimados de forma independente a partir de correlações não relacionadas de equipamentos.

Aplicando Isso ao Seu Projeto

Use a abordagem a seguir ao analisar um experimento com partículas esféricas:

Se seu foco principal for o arrasto total da partícula: Calcule (F_D=6\pi\mu R U) usando a viscosidade do fluido, o raio da partícula e a velocidade relativa entre a partícula e o fluido.
Se seu foco principal for a contribuição da força de pressão: Use (F_{D,p}=2\pi\mu R U=F_D/3), reconhecendo que essa é uma contribuição de pressão em escoamento viscoso, e não um arrasto de forma inercial associado a números de Reynolds elevados.
Se seu foco principal for a contribuição do atrito superficial: Use (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U=2F_D/3), que representa a tensão de cisalhamento tangencial integrada sobre a superfície da partícula.
Se seu foco principal for validar um experimento em planta piloto: Confirme (Re_p\ll1), diferencie o arrasto na escala da partícula da queda de pressão na escala do equipamento e considere paredes, partículas vizinhas e comportamento não newtoniano.

Para uma esfera ideal em escoamento rastejante, o resultado principal é claro: um terço do arrasto hidrodinâmico provém das forças de pressão e dois terços provêm das tensões de cisalhamento viscoso.

Tabela-Resumo:

Aspecto principal	Resultado
Regime de escoamento	Escoamento rastejante, em que o número de Reynolds da partícula (Re_p \ll 1)
Arrasto total	(F_D = 6\pi\mu R U)
Contribuição da pressão	(F_{D,p} = 2\pi\mu R U), ou 1/3 (33,3%)
Contribuição do cisalhamento	(F_{D,\tau} = 4\pi\mu R U), ou 2/3 (66,7%)
Razão entre as contribuições	Pressão : cisalhamento = 1 : 2
Principais aplicações	Sedimentação, clarificação, sedimentação de partículas e experimentos didáticos de hidrodinâmica

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