Para escoamentos de fluidos viscosos, o balanço de energia é formulado separando a energia total em contribuições térmicas e mecânicas. A equação de energia total rastreia a energia interna, cinética e potencial, enquanto contabiliza a condução de calor e o trabalho realizado por pressões e tensões viscosas. Subtrair o balanço de energia mecânica expõe os efeitos térmicos da compressão ou expansão e a conversão irreversível de energia mecânica em calor através da dissipação viscosa.

A formulação governante combina um balanço de energia total com um balanço de energia mecânica. Para fluidos viscosos, a equação de energia interna deve incluir a condução de calor, os efeitos do trabalho de pressão e o termo de dissipação viscosa (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}), que pode ser importante em operações de alta viscosidade ou alto cisalhamento.

Comece com o Balanço de Energia Total

Energia de uma Partícula de Fluido

A energia total substancial por unidade de massa é

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

onde (u) é a energia interna, (v^2/2) é a energia cinética e (gz) é a energia potencial.

Para uma partícula de fluido, o balanço da primeira lei pode ser escrito como

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

onde (\rho) é a densidade, (\mathbf{q}) é o fluxo de calor condutivo, (\boldsymbol{\sigma}) é o tensor de tensão total, (\mathbf{b}) é a força de corpo por unidade de massa e (\dot{q}_v) representa qualquer fonte volumétrica de calor.

Condução de Calor

A lei de Fourier define o fluxo de calor condutivo:

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

Portanto, a contribuição condutiva para o balanço de energia é

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

Para condutividade térmica constante, isso se torna (k\nabla^2T).

Em uma parede sólida estacionária, a velocidade do fluido na parede é zero sob a condição de não deslizamento. A transferência de calor através da fronteira é, consequentemente, representada pelo fluxo condutivo normal à parede:

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

O gradiente de temperatura na parede determina a taxa de transferência de calor local utilizada em trocadores de calor, evaporadores, serpentinas de resfriamento e jaquetas de reatores.

Trabalho de Tensão

O tensor de tensão é comumente decomposto como

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

onde (P) é a pressão e (\boldsymbol{\tau}) é o tensor de tensão desviatória ou viscosa.

O termo de trabalho de tensão inclui tanto o trabalho de pressão quanto o trabalho de tensão viscosa. Essa distinção é essencial porque o trabalho de pressão representa principalmente a transferência reversível de energia mecânica, enquanto a tensão viscosa pode gerar energia térmica de forma irreversível.

Derive o Balanço de Energia Térmica

Forma de Energia Interna

Após separar a energia cinética e potencial da equação de energia total e usar o balanço de momento, a equação de energia interna é

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Aqui, (\mathbf{v}) é o campo de velocidade e os dois pontos denotam a contração dupla de dois tensores.

Os termos têm significados físicos diretos:

• (-\nabla\cdot\mathbf{q}): calor condutivo líquido entrando no elemento de fluido.
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v}): trabalho reversível de pressão-volume.
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}): conversão viscosa irreversível de energia mecânica em energia interna.
• (\dot{q}_v): geração de calor volumétrica especificada externamente.

Forma Temperatura-Pressão

Para um fluido caracterizado termodinamicamente, o diferencial de energia interna pode ser expresso em termos de temperatura e pressão. Uma forma útil do balanço térmico é

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

O coeficiente de pressão exato depende das variáveis termodinâmicas e da equação de estado utilizada. As contribuições físicas importantes são o efeito térmico induzido pela pressão e a dissipação viscosa.

Para (k) constante, o termo condutivo pode ser escrito como

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

Compressibilidade e Efeitos de Pressão

O termo envolvendo (DP/Dt) descreve o aquecimento ou resfriamento reversível associado à compressão e expansão. É mais importante quando a densidade muda significativamente, como em gases, líquidos compressíveis, transientes rápidos de pressão ou equipamentos fortemente pressurizados.

Para um líquido incompressível com propriedades quase constantes, essa contribuição de pressão-temperatura é frequentemente negligenciável na equação térmica. A pressão ainda pode ser importante no balanço de energia mecânica separado.

Considere a Dissipação Viscosa

Termo Geral de Aquecimento Viscoso

O termo

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

é a taxa na qual a energia mecânica viscosa é convertida em calor por unidade de volume.

É não negativo para um fluido newtoniano fisicamente admissível e representa o aquecimento interno irreversível causado por gradientes de velocidade.

Fluidos Newtonianos

Para um fluido newtoniano,

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

onde (\mu) é a viscosidade dinâmica e (\lambda) é o segundo coeficiente de viscosidade.

A função de dissipação é, portanto,

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Para escoamento incompressível com viscosidade constante, é comumente expresso usando o tensor de taxa de deformação (\mathbf{D}):

[ \Phi_v=2\mu,\mathbf{D}:\mathbf{D} ]

Por que a Viscosidade é Importante em Operações Unitárias

Em escoamentos de baixa viscosidade e baixo cisalhamento, o aquecimento viscoso pode ser pequeno em comparação com o calor trocado através da parede do equipamento. Em polímeros, óleos pesados, fluidos biológicos concentrados e operações de mistura intensiva, pode tornar-se uma grande fonte de calor interna.

A consequência é que a temperatura do fluido pode subir mesmo quando o equipamento é resfriado externamente. Omitir (\Phi_v) em tais sistemas pode levar a temperaturas de saída, coeficientes de transferência de calor, previsões de tempo de residência e requisitos de carga de resfriamento incorretos.

Formule o Balanço de Energia Mecânica

Energia Mecânica por Unidade de Massa

O conteúdo de energia mecânica de um fluido em escoamento é comumente representado pelos termos de pressão, cinética e potencial:

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

Para escoamento em regime permanente através de uma operação unitária, um balanço prático de energia mecânica por unidade de massa é

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

onde (w_s) é o trabalho de eixo fornecido ao fluido e (F) é a perda de energia mecânica por unidade de massa causada por atrito e outros efeitos irreversíveis.

Reorganizando, temos

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

O sinal de (w_s) depende da convenção utilizada. A equação acima define (w_s) positivo como trabalho fornecido ao fluido.

Balanço Mecânico Diferencial

Uma forma diferencial pode ser derivada da equação de momento projetando o trabalho de tensão no campo de velocidade. Ela contabiliza o trabalho do gradiente de pressão, trabalho de forças de corpo, mudanças de energia cinética, trabalho de eixo e perdas viscosas.

Em cálculos práticos de plantas piloto, a forma integrada é geralmente mais útil porque relaciona diretamente o trabalho da bomba ou compressor ao aumento de pressão, mudança de velocidade, mudança de elevação e perda por atrito.

Balanço Mecânico para Escoamento Incompressível

Para escoamento de líquido com densidade constante, a expressão comumente usada é

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

Multiplicar pela taxa de fluxo de massa fornece o requisito de potência do eixo:

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

Esta relação suporta a seleção de bombas e a previsão de perdas de pressão através de tubulações, conexões, trocadores de calor, filtros, misturadores e outros módulos.

Conecte Perdas Mecânicas à Geração Térmica

O Atrito não é Automaticamente um Fluxo de Calor na Parede

O termo de atrito (F) representa a degradação da energia mecânica. Ele não deve ser automaticamente inserido no balanço térmico como calor transferido através da parede.

Parte da energia mecânica perdida é convertida localmente em energia interna através da dissipação viscosa. O restante pode ser transportado pelo fluido e, finalmente, transferido para as superfícies do equipamento ou arredores.

Balanços Locais versus Globais

A equação térmica diferencial usa o termo de geração local

[ \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Um balanço mecânico global usa a perda integrada (F). Essas quantidades estão relacionadas através da integração espacial, mas não são intercambiáveis sem considerar o campo de escoamento e o volume de controle.

Essa distinção evita a contagem dupla do aquecimento por atrito quando balanços térmicos e mecânicos são aplicados à mesma operação unitária.

Calor e Trabalho são Modos de Transferência Diferentes

O calor atravessa uma fronteira do sistema devido a uma diferença de temperatura. O trabalho atravessa a fronteira através de forças mecânicas, elétricas, de pressão ou de eixo.

Uma bomba ou agitador fornece trabalho ao processo, enquanto uma jaqueta de resfriamento remove calor. O fato de que o trabalho mecânico pode eventualmente aparecer como energia térmica não torna a transferência original de trabalho de eixo uma transferência de calor.

Entendendo os Trade-offs

Aproximações Incompressíveis

Para muitas operações unitárias com líquidos, a densidade, viscosidade e condutividade térmica são tratadas como constantes. Isso simplifica o balanço térmico para

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Esta aproximação é apropriada apenas quando as mudanças de densidade e propriedades induzidas pela pressão são insignificantes na faixa operacional.

Negligenciando a Dissipação Viscosa

Descartar o termo viscoso reduz a equação a um balanço convencional de convecção-condução. Isso geralmente é razoável para fluidos de baixa viscosidade, mas pode ser inseguro para passagens estreitas, altas velocidades rotacionais, mistura intensa ou materiais fortemente pseudoplásticos.

A comparação relevante é entre a geração de calor viscoso e a remoção de calor pela parede, não apenas a viscosidade.

Suposições de Regime Permanente

Em regime permanente, o acúmulo local pode desaparecer, mas o transporte convectivo, condução, efeitos de pressão, dissipação viscosa e troca de calor podem permanecer significativos.

Regime permanente não significa que o balanço térmico seja desprezível. Significa que o campo de temperatura não muda mais com o tempo em uma localização fixa.

Simplificações do Tipo Bernoulli

Se perdas viscosas, trabalho de eixo, efeitos térmicos e compressibilidade são desprezíveis, o balanço mecânico reduz-se a uma relação do tipo Bernoulli. Isso é útil para escoamento idealizado, mas geralmente é insuficiente para dimensionar bombas reais ou analisar equipamentos de alta viscosidade.

Como Aplicar Isso ao Seu Projeto

O balanço correto depende se o objetivo é prever a temperatura, calcular o trabalho do equipamento ou avaliar ambos os efeitos juntos.

• Se o seu foco principal é a previsão de temperatura: Use a equação de energia interna ou temperatura com condução, convecção, efeitos térmicos induzidos por pressão onde relevante, dissipação viscosa e geração volumétrica de calor.
• Se o seu foco principal é o dimensionamento de bombas ou compressores: Use o balanço de energia mecânica com mudança de pressão, mudança de energia cinética, mudança de elevação, perda por atrito e trabalho de eixo.
• Se o seu foco principal é operação de alta viscosidade ou alto cisalhamento: Mantenha (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) e avalie se o aquecimento viscoso altera materialmente o campo de temperatura.
• Se o seu foco principal é escoamento compressível ou rapidamente pressurizado: Mantenha o termo termodinâmico (DP/Dt) e use uma equação de estado e modelo de propriedades consistentes.
• Se o seu foco principal é uma carga de operação unitária global: Combine o balanço térmico local com o balanço mecânico integrado, evitando a contagem dupla de energia por atrito.

Uma formulação confiável mantém o transporte térmico, a energia mecânica e sua conversão irreversível explicitamente conectados, mas fisicamente distintos.

Tabela Resumo:

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