O balanço de massa dinâmico é linearizado substituindo a relação não linear de equilíbrio vapor-líquido por sua forma linear local e, em seguida, agrupando os termos de composição. Para o estágio (n), o balanço do componente na fase líquida é

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

Se a relação de equilíbrio for aproximada localmente por (y_i=m_i x_i), com inclinação constante (m_i), a equação do estágio se torna uma equação diferencial linear acoplada aos estágios vizinhos. Essa forma é a base para a obtenção de funções de transferência, o estudo da propagação de perturbações e o projeto de sistemas de controle de composição para plantas-piloto de absorção e destilação.

Conclusão principal: A linearização converte o balanço do estágio em um modelo dinâmico de primeira ordem, tratando a retenção, as vazões e a inclinação do equilíbrio local como constantes. O modelo resultante é geralmente um conjunto acoplado de equações de primeira ordem, e não uma equação independente para cada estágio, porque cada estágio troca material com os estágios adjacentes.

Iniciando com o Balanço Dinâmico do Estágio

Acumulação do componente na fase líquida

Para uma retenção líquida constante (H_n), a acumulação do componente absorvido ou destilado no estágio (n) é

[ H_n\frac{dx_n}{dt}. ]

Aqui, (x_n) é a fração molar do componente na fase líquida no estágio (n). As unidades devem ser consistentes: se (H_n) for uma retenção molar, (L) e (V) deverão ser vazões molares.

Contribuições das correntes

A corrente líquida que entra no estágio (n) contribui com (Lx_{n-1}), enquanto a corrente líquida que sai contribui com (Lx_n).

A corrente de vapor que entra do estágio adjacente contribui com (Vy_{n+1}), e o vapor que deixa o estágio (n) remove (Vy_n). Portanto,

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

Esse balanço pressupõe (L) constante, (V) constante, retenção constante, ausência de reação e acumulação desprezível na fase vapor.

Aplicação da Aproximação de Equilíbrio Local

Relação linear de equilíbrio

As composições do vapor e do líquido estão relacionadas pela função de equilíbrio

[ y=f(x). ]

Em torno de um ponto de operação selecionado, essa relação pode ser aproximada como

[ y_i \approx y_{i,0}+m_i(x_i-x_{i,0}), ]

onde

[ m_i=\left.\frac{dy}{dx}\right|{x{i,0}}. ]

Para um modelo simplificado com inclinação constante da linha de equilíbrio e composições medidas em relação ao ponto de operação, isso se reduz a

[ y_i=m x_i. ]

A inclinação (m) pode representar uma relação de volatilidade local ou uma relação da lei de Henry, dependendo do sistema.

Substituição no balanço do estágio

Usando (y_n=mx_n) e (y_{n+1}=mx_{n+1}),

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+mVx_{n+1}-mVx_n. ]

Agrupando os termos que envolvem (x_n), temos

[ \boxed{ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1} } ]

ou, após a divisão pela retenção,

[ \boxed{ \frac{dx_n}{dt}

\frac{L}{H_n}x_{n-1}

\frac{L+mV}{H_n}x_n + \frac{mV}{H_n}x_{n+1} }. ]

Essa é a equação dinâmica linearizada padrão para um estágio ideal de equilíbrio sob hipóteses de vazão constante.

O que “Linearizado” Significa neste Modelo

Linearização da relação de equilíbrio

A relação de equilíbrio original pode ser não linear, especialmente em sistemas de destilação com variação significativa da volatilidade relativa. A linearização substitui essa relação não linear pela sua tangente próxima ao ponto de operação estacionário selecionado.

A aproximação é confiável para variações de composição relativamente pequenas em torno desse ponto. Perturbações grandes podem exigir a relação completa e não linear de equilíbrio vapor-líquido.

Linearização do balanço de massa

O próprio balanço de massa já é linear em (x) quando (H), (L) e (V) são constantes. Não linearidades adicionais surgem quando essas grandezas variam com a composição, temperatura, pressão, nível ou vazão total.

Para um modelo mais geral, escreve-se

[ H_n(x_n)\frac{dx_n}{dt}

L(x_{n-1}-x_n) + V(y_{n+1}-y_n), ]

e, em seguida, expande-se o modelo em torno de um estado estacionário:

[ x_i=x_{i,0}+\delta x_i, \qquad y_i=y_{i,0}+\delta y_i. ]

A perturbação do equilíbrio é aproximada por

[ \delta y_i=m_i\delta x_i. ]

O modelo de perturbação resultante tem a mesma estrutura da equação destacada, mas seus coeficientes são avaliados no ponto de operação.

Correção Importante de Indexação

A composição do vapor vizinho deve ser mantida

Um erro frequente de indexação é substituir (y_{n+1}=mx_{n-1}). Na numeração usual de estágios em contracorrente, o vapor que entra no estágio (n) é (y_{n+1}), que está relacionado à composição do líquido no estágio (n+1):

[ y_{n+1}=mx_{n+1}. ]

Portanto, a equação corretamente indexada é

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1}. ]

A expressão

[ H\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-(L+mV)x_n+mVx_{n-1} ]

somente é válida se a variável rotulada como (x_{n-1}) tiver sido deliberadamente definida como a composição equivalente do líquido a montante do vapor que entra. Essa não é a substituição usual de equilíbrio indexada por estágio.

Por que a distinção é importante

Manter (x_{n+1}) produz um modelo acoplado da coluna. A composição em um estágio responde aos dois estágios vizinhos, o que é essencial para representar a propagação de perturbações através de uma coluna de bandejas ou de uma coluna recheada discretizada.

Substituir o termo do estágio vizinho pela mesma variável a montante pode produzir um modelo de estágio único mais simples, mas altera a conectividade física e pode gerar previsões dinâmicas incorretas.

Das Equações dos Estágios às Funções de Transferência

Forma no domínio de Laplace

Supondo perturbações iniciais nulas e coeficientes constantes, a transformação de Laplace fornece

[ H_n sX_n(s)

LX_{n-1}(s)

(L+mV)X_n(s) + mVX_{n+1}(s). ]

Reorganizando,

[ \boxed{ \left[H_n s+(L+mV)\right]X_n(s)

LX_{n-1}(s)+mVX_{n+1}(s) }. ]

Essa equação é uma linha do modelo dinâmico de função de transferência ou de espaço de estados da coluna.

Aproximação de estágio único

Se a composição do vapor que entra for tratada como uma entrada conhecida, em vez de um estado relacionado a (x_{n+1}), defina

[ u_n=Lx_{n-1}+Vy_{n+1}. ]

O balanço torna-se

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

u_n-(L+mV)x_n. ]

A função de transferência correspondente é

[ \boxed{ \frac{X_n(s)}{U_n(s)}

\frac{1}{H_n s+L+mV} } ]

com constante de tempo

[ \boxed{ \tau_n=\frac{H_n}{L+mV} }. ]

Se a entrada for apenas a composição do líquido a montante e a contribuição do vapor for desprezada ou incorporada separadamente, então

[ \frac{X_n(s)}{X_{n-1}(s)}

\frac{L}{H_n s+L+mV}. ]

Aplicação à Absorção e à Destilação

Absorção gás-líquido

Na absorção, o soluto geralmente se transfere da fase gasosa para a fase líquida quando a composição real do gás excede seu valor de equilíbrio:

[ y>y^*(x). ]

A inclinação de equilíbrio (m) descreve como a composição de equilíbrio do gás varia com a composição do líquido. Um termo (mV) maior aumenta a intensidade do acoplamento da fase vapor e altera a resposta do estágio.

Para colunas de absorção recheadas, o mesmo conceito é frequentemente escrito como um modelo diferencial distribuído, em vez de balanços discretos de bandejas. Uma discretização por volumes finitos produz equações semelhantes às de estágios, com retenção e acoplamento entre células vizinhas.

Destilação

Na destilação, a relação de equilíbrio é normalmente representada por

[ y_i=y^*(x_i), ]

onde (y^*(x)) pode ser não linear. Em torno de uma composição de operação,

[ \delta y_i \approx \left.\frac{dy^*}{dx}\right|{x{i,0}}\delta x_i. ]

A inclinação local pode variar de estágio para estágio, portanto uma coluna de destilação geralmente possui coeficientes (m_n), (L_n), (V_n) e (H_n), em vez de um único (m), (L) e (V) universais.

Condições de contorno

As equações dos estágios internos não são suficientes por si só. O condensador, o refervedor, o estágio de alimentação, a corrente de refluxo, a corrente de destilado, a corrente de fundo e as extremidades da coluna fornecem as condições de contorno e as relações das variáveis manipuladas.

Por exemplo, o refluxo altera a vazão de líquido que entra nos estágios superiores, enquanto a vaporização altera a vazão de vapor que entra nos estágios inferiores. Esses efeitos de contorno são frequentemente as principais vias para as perturbações de controle.

Extensão do Modelo para Retenção e Vazão Variáveis

Balanço de massa total

Quando o nível ou a retenção de líquido varia, é necessário incluir um balanço total. Um balanço geral da retenção líquida é

[ \frac{dH_n}{dt}

L_{n-1}-L_n+V_{n+1}-V_n, ]

com os sinais e as definições das correntes ajustados à convenção de estágio selecionada.

O balanço do componente deve então ser escrito em termos da retenção do componente:

[ \frac{d(H_nx_n)}{dt}

\text{componente que entra}

\text{componente que sai}. ]

Expandindo a derivada, obtém-se

[ H_n\frac{dx_n}{dt} + x_n\frac{dH_n}{dt}

\text{componente que entra}

\text{componente que sai}. ]

O termo adicional (x_n,dH_n/dt) é importante quando os níveis de líquido nas bandejas ou as retenções do refervedor e do condensador variam significativamente.

Efeitos de energia e pressão

Para modelos precisos de plantas-piloto, a temperatura afeta tanto o equilíbrio quanto as vazões. A pressão afeta a composição do vapor, as condições de saturação e a vazão volumétrica.

Portanto, uma linearização baseada somente na composição é apropriada principalmente para perturbações moderadas em torno de um ponto de operação com temperatura e pressão fixas. Variações operacionais maiores exigem equações acopladas de balanço de massa, energia e pressão.

Compreendendo as Compensações

Benefícios do modelo linearizado

O modelo linearizado é compacto, computacionalmente eficiente e adequado para a análise por funções de transferência. Ele fornece informações diretas sobre constantes de tempo, acoplamento entre estágios, atenuação de perturbações e controlabilidade.

É especialmente útil para o ajuste de controladores e experimentos didáticos em plantas-piloto nas quais a coluna opera próxima a uma condição nominal estável.

Limitações da inclinação de equilíbrio constante

Um único valor de (m) pode ser inadequado quando a volatilidade relativa varia significativamente com a composição ou a temperatura. A aproximação também pode falhar próximo a azeótropos, em misturas fortemente não ideais ou em amplas faixas de operação.

Para esses sistemas, use inclinações locais específicas para cada estágio ou mantenha a função de equilíbrio não linear.

Limitações de vazão e retenção constantes

Supor (L), (V) e (H) constantes exclui a dinâmica de nível e os efeitos hidráulicos. Isso pode levar a previsões otimistas da velocidade de resposta e ocultar interações importantes entre o controle de vazão, pressão e composição.

As plantas-piloto devem usar retenções medidas ou modeladas de forma independente quando houver possibilidade de inundação das bandejas, gotejamento, formação de espuma ou variação significativa do nível de líquido.

Confusão entre linhas de operação e balanços dinâmicos

A linha de operação descreve uma relação estacionária de balanço de massa entre as composições das fases. Ela não descreve, por si só, como as composições evoluem ao longo do tempo.

O modelo dinâmico requer termos de retenção, como (H,dx/dt). Remover esses termos converte o modelo em uma relação de estado estacionário, em vez de uma relação transiente.

Escolhendo a Abordagem Adequada ao seu Objetivo

O modelo apropriado depende de o objetivo ser o projeto de controle, a análise conceitual ou a previsão de alta fidelidade de uma planta-piloto.

Se o foco principal for o projeto do controlador: Linearize (y^*(x)) em torno do ponto de operação pretendido, mantenha o acoplamento entre estágios vizinhos e monte as equações na forma de espaço de estados.
Se o foco principal for uma resposta simples de estágio único: Trate a composição do vapor que entra como uma entrada conhecida e use a função de transferência de primeira ordem (1/[Hs+(L+mV)]).
Se o foco principal for a propagação de perturbações em toda a coluna: Mantenha (x_{n-1}) e (x_{n+1}) em todas as equações dos estágios e aplique as condições de contorno corretas do condensador, refervedor, alimentação, refluxo e produtos.
Se o foco principal for o comportamento transiente de uma planta-piloto em grandes perturbações: Use equilíbrio não linear, retenção variável, vazões variáveis e balanços acoplados de energia e pressão.

Um modelo linearizado consistente da coluna preserva a conectividade física dos estágios e simplifica o comportamento do equilíbrio local em torno de um ponto de operação claramente definido.

Tabela-Resumo:

Elemento Principal	Insight do Modelo Linearizado
Balanço dinâmico	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - Lx_n + Vy_{n+1} - Vy_n`
Aproximação de equilíbrio	Substituir `y=f(x)` por `delta y=m delta x` próximo a um ponto de operação estacionário
Equação do estágio acoplado	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - (L+mV)x_n + mVx_{n+1}`
Principais hipóteses	Retenção constante, vazões de líquido e vapor constantes e acumulação desprezível na fase vapor
Forma da função de transferência	`[H_n s + (L+mV)]X_n = LX_{n-1} + mVX_{n+1}`
Constante de tempo de estágio único	`tau_n = H_n/(L+mV)`
Ponto crítico de indexação	O termo do vapor que entra está relacionado a `x_{n+1}`, preservando o acoplamento entre estágios vizinhos
Melhores aplicações	Ajuste de controladores, análise de perturbações, funções de transferência e modelagem em espaço de estados
Quando modelos não lineares são necessários	Grandes perturbações, retenção ou vazão variáveis, forte não idealidade, variações de pressão ou efeitos de energia

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