A conservação do momento na análise de volume de controle é escrita como um balanço de forças em uma região fixa ou móvel de fluido. Usando a segunda lei de Newton com o teorema de transporte de Reynolds, a taxa de acúmulo de momento dentro do volume de controle mais o fluxo convectivo líquido de momento através de sua superfície de controle é igual à força externa total. A força total é separada em forças de corpo, que atuam por todo o volume do fluido, e forças de superfície, que atuam através da superfície de controle por meio de pressões e tensões viscosas.

A equação do momento para o volume de controle é [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v},dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA. ] O lado direito contém a contribuição da força de corpo e a contribuição da força de superfície.

Como a Conservação do Momento é Formulada

Comece com a Segunda Lei de Newton

Para um sistema material, a segunda lei de Newton estabelece que a força externa líquida é igual à taxa de variação do momento:

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v},dV. ]

Aqui, (\rho) é a densidade do fluido e (\mathbf{v}) é o vetor velocidade.

Para um elemento de fluido material, a mesma relação pode ser expressa na forma diferencial como:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

onde (D\mathbf{v}/Dt) é a aceleração material e (\mathbf{f}) é a força líquida por unidade de volume.

Aplique o Teorema de Transporte de Reynolds

Um volume de controle é uma região selecionada no espaço através da qual o fluido pode escoar. O teorema de transporte de Reynolds converte o balanço do sistema em um balanço de volume de controle, contabilizando tanto o momento armazenado dentro do volume quanto o momento transportado através de seu limite.

Para um volume de controle estacionário:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

O primeiro termo representa o acúmulo de momento dentro do volume de controle. O segundo representa o fluxo convectivo líquido de momento através da superfície de controle.

Interprete o Fluxo Convectivo de Momento

O vetor (\mathbf{n}) é a normal unitária externa à superfície de controle. A quantidade (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) identifica a componente normal da velocidade que atravessa a superfície.

O fluido que entra no volume de controle tem (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0), enquanto o fluido que sai tem (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0). Esta convenção de sinais contabiliza automaticamente as contribuições de momento de entrada e saída.

Para escoamento permanente e unidimensional com perfis de velocidade uniformes, o balanço geralmente reduz-se a:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

Como as Forças de Corpo e de Superfície Diferem

Forças de Corpo Atuam por Todo o Volume do Fluido

Uma força de corpo atua diretamente sobre a massa do fluido por todo o volume de controle. Ela não requer contato físico com um limite.

A contribuição geral da força de corpo é:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV, ]

onde (\mathbf{b}) é a força de corpo por unidade de massa.

O exemplo dominante na maioria das operações unitárias de escoamento de fluidos é a gravidade:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV. ]

Para densidade constante e um campo gravitacional uniforme, isso se torna:

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

A gravidade é importante em cálculos de pressão hidrostática, tubulações verticais, tanques, colunas e sistemas que envolvem mudanças de elevação.

Forças de Superfície Atuam Através do Limite

Uma força de superfície atua sobre o fluido através da superfície de controle. Essas forças surgem de fluidos vizinhos, paredes sólidas, bombas, válvulas e outras superfícies em contato.

A expressão geral é:

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n}),dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA, ]

onde (\mathbf{s}(\mathbf{n})) é o vetor de tração superficial e (\boldsymbol{\sigma}) é o tensor de tensões.

As forças de superfície têm dois componentes principais:

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

O termo (-p\mathbf{I}) representa a tensão de pressão isotrópica. O tensor (\boldsymbol{\tau}) representa a tensão viscosa ou desviatória causada por gradientes de velocidade.

Forças de Pressão Atuam Normalmente

A pressão atua perpendicularmente à superfície. Sua contribuição é:

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n},dA. ]

O sinal negativo segue a convenção da normal externa: a pressão exercida sobre o fluido aponta para dentro em relação à superfície circundante.

As forças de pressão são centrais para os balanços de momento em redutores, bocais, curvas, bombas e conexões de tubulação. Sua resultante pode produzir empuxo, forças de reação ou relações de queda de pressão.

Forças Viscosas Atuam Tangencialmente

A tensão de cisalhamento viscoso atua principalmente de forma tangencial a uma parede ou interface de fluido. Em uma parede sólida, ela está associada ao gradiente de velocidade próximo ao limite.

A contribuição viscosa é representada por:

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

No escoamento interno, o cisalhamento na parede produz perdas de pressão por atrito. Essas perdas influenciam o dimensionamento de bombas, a potência operacional e o desempenho hidráulico de redes de tubulação.

O Balanço de Forças Completo do Volume de Controle

Combinar os termos de transporte de momento com as forças de corpo e superfície resulta em:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV

\oint_{CS}p\mathbf{n},dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Esta equação aplica-se independentemente em cada direção de coordenada. Por exemplo, uma curva de tubulação horizontal é comumente analisada usando as componentes (x) e (y) para determinar a força de suporte ou ancoragem necessária.

Simplificação em Regime Permanente

Sob condições de regime permanente, o acúmulo de momento desaparece:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV=0. ]

A equação então estabelece que o fluxo líquido de momento saindo do volume de controle é igual à soma das forças de corpo e superfície.

Esta forma é especialmente útil para analisar escoamento permanente em tubulações, estações de bombeamento, válvulas, cotovelos e sistemas de alimentação de reatores.

Forma Unidimensional de Entrada e Saída

Para entradas e saídas discretas, o balanço de momento pode ser escrito como:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

A taxa de fluxo de massa é:

[ \dot{m}=\rho A v, ]

para um fluxo uniforme com área de seção transversal (A) e velocidade (v).

Esta forma de engenharia é conveniente quando as velocidades de entrada e saída são conhecidas ou podem ser estimadas a partir da continuidade.

Por que a Distinção é Importante nas Operações Unitárias

Prever Quedas de Pressão e Perdas por Atrito

As forças de pressão e as forças de cisalhamento na parede devem ser distinguidas ao calcular mudanças de pressão através de tubulações e equipamentos. As diferenças de pressão fornecem forças motrizes, enquanto o cisalhamento viscoso contabiliza as perdas irreversíveis por atrito.

Esses resultados apoiam a seleção de bombas e a avaliação de limites operacionais em sistemas de escala piloto.

Avaliar Forças em Equipamentos e Tubulações

O fluxo de momento pode mudar de direção mesmo quando sua magnitude permanece constante. Um cotovelo de tubulação, portanto, experimenta uma força de reação porque o vetor momento do fluido muda.

Um balanço de volume de controle fornece a força que atua sobre o fluido; a força igual e oposta determina a carga transmitida à conexão, suporte ou equipamento.

Contabilizar Efeitos de Elevação e Hidrostáticos

As forças de corpo tornam-se significativas quando o volume de controle tem extensão vertical substancial ou quando o fluido está estático ou movendo-se lentamente. A gravidade então contribui para a distribuição de pressão e a carga hidrostática.

Em colunas verticais e tanques, omitir o termo da força de corpo pode produzir uma previsão incorreta de pressão ou força.

Entendendo os Trade-offs

Balanços Integrais Requerem Médias Apropriadas

A equação do volume de controle é exata, mas cálculos práticos frequentemente usam velocidades médias, perfis uniformes e distribuições de pressão simplificadas. Essas aproximações podem ser inadequadas onde o escoamento está fortemente em desenvolvimento, é turbulento, separado ou multifásico.

Fatores de correção de perfil de velocidade podem ser necessários quando a distribuição de velocidade está longe de ser uniforme.

Pressão e Cisalhamento Não Podem Ser Intercambiados

A pressão é uma tensão normal, enquanto o cisalhamento viscoso é uma tensão tangencial. Tratar todas as forças de superfície como forças de pressão pode resultar em uma força resultante incorreta e subestimar as perdas por atrito.

Por outro lado, incluir o cisalhamento na parede onde ele é desprezível pode adicionar complexidade desnecessária sem melhorar o resultado.

O Volume de Controle Escolhido Afeta o Cálculo

A superfície de controle deve ser colocada onde pressões, velocidades e taxas de fluxo são conhecidas ou podem ser estimadas de forma confiável. Um volume de controle mal selecionado pode introduzir forças de parede desconhecidas ou interfaces desnecessárias.

Para equipamentos que contêm componentes internos, selecionar limites ao redor de todo o dispositivo pode simplificar o balanço, substituindo forças internas por uma força externa líquida.

A Análise de Momento Não Substitui a Análise de Energia

A conservação do momento determina forças e mudanças no momento, mas não determina por si só mudanças de temperatura, transferência de calor ou perdas de energia mecânica. Balanços de energia são necessários para equipamentos térmicos, potência de bombas e análise de trocadores de calor.

No projeto completo de operações unitárias, balanços de massa, momento e energia são usados em conjunto.

Fazendo a Escolha Certa para o Seu Objetivo

Use a equação de momento do volume de controle identificando o volume de controle, especificando os fluxos de momento de entrada e saída e avaliando cada contribuição de força de corpo e de superfície.

• Se o seu foco principal é a previsão de queda de pressão: Inclua as contribuições de pressão e cisalhamento na parede cuidadosamente e use correlações apropriadas de perfil de velocidade ou fator de atrito.
• Se o seu foco principal é o projeto de bombas e tubulações: Aplique o balanço de momento em regime permanente para determinar forças de pressão, reações de equipamentos e cargas de suporte.
• Se o seu foco principal são sistemas verticais ou hidrostáticos: Inclua o termo de força de corpo (\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV) e contabilize explicitamente os efeitos de elevação.
• Se o seu foco principal é o escalonamento de plantas piloto: Combine balanços de momento com balanços de continuidade e energia para que a distribuição de fluxo, perdas de pressão e efeitos térmicos sejam avaliados de forma consistente.

Um volume de controle bem escolhido transforma a conservação do momento do fluido em um link direto e quantitativo entre o comportamento do escoamento e as forças que atuam nos equipamentos de processo.

Tabela Resumo:

Projetando ou atualizando equipamentos de escoamento de fluidos? Entre em contato com a LABPARK para Plantas Piloto de Operações Unitárias Educacionais e Vocacionais adaptadas às suas necessidades. Apoiamos universidades, institutos de pesquisa e empresas com plantas piloto para engenharia química, bioprocessos e biotecnologia, e tratamento de água e ambiental. Nossas soluções ajudam você a avaliar perdas de pressão, forças nos equipamentos, comportamento do fluxo e desempenho de escalonamento por meio de sistemas laboratoriais e de escala piloto práticos e confiáveis.