Use o número de Strouhal como um teste de escala de tempo: o comportamento de estado quase estacionário é razoável quando a pulsação imposta é lenta em comparação com o tempo de resposta relevante do fluido. Para escoamentos inerciais em plantas-piloto, compare o período da perturbação com o tempo convectivo ( \tau_c=L/U ); para escoamentos rastejantes, compare-o com o tempo de difusão viscosa ( \tau_v=L^2/\nu ). O escoamento pode ser tratado como quase estacionário quando essas razões são suficientemente pequenas, mas o critério apropriado depende do regime de transporte dominante.

A modelagem de estado quase estacionário é justificada quando o fluido se ajusta muito mais rapidamente do que as condições operacionais se modificam. Avalie esse ajuste usando a escala de tempo convectiva para escoamentos inerciais e a escala de tempo viscosa para escoamentos com baixo número de Reynolds, verificando também os picos locais e os harmônicos, em vez de depender apenas das condições operacionais médias.

Identifique as Escalas de Tempo Relevantes

A escala de tempo imposta

Para uma bomba pulsátil, um agitador oscilante ou uma válvula cíclica, defina a escala de tempo imposta como

[ \tau_i \approx \frac{1}{f} ]

onde (f) é a frequência dominante da perturbação. Se a forma de onda não for senoidal, os harmônicos superiores terão escalas de tempo menores e poderão controlar a validade da aproximação.

Para uma operação periódica com período (T), usar (\tau_i=T) fornece a mesma comparação física, com apenas uma diferença de fator constante em relação ao uso de (1/f).

A escala de tempo convectiva

A escala de tempo convectiva é

[ \tau_c=\frac{L}{U} ]

onde (L) é o comprimento característico do escoamento e (U) é a velocidade característica.

Ela representa o tempo necessário para que informações de momento ou concentração do fluido atravessem a região relevante do equipamento, como o diâmetro de um tubo, uma zona de mistura, uma seção recheada ou o comprimento de uma coluna.

O tempo de resposta viscosa

Para escoamento viscoso ou rastejante, o tempo de resposta relevante é o tempo de difusão viscosa:

[ \tau_v=\frac{L^2}{\nu} ]

onde (\nu) é a viscosidade cinemática.

Esse é o tempo necessário para que os efeitos viscosos se difundam através do comprimento característico. Em uma pequena folga ou canal estreito, esse tempo pode ser curto; em um recipiente grande ou em um sistema altamente viscoso, pode ser substancial.

Defina o Número de Strouhal de Forma Consistente

A convenção de escala de tempo

Para avaliar condições de estado quase estacionário, defina a forma baseada na escala de tempo como

[ Sr=\frac{\tau_i}{\tau_c} =\frac{U}{fL} ]

Nessa convenção, um (Sr) grande significa que a mudança imposta é lenta em relação à convecção.

Muitas referências de dinâmica dos fluidos usam, em vez disso, o número de Strouhal convencional

[ St=\frac{fL}{U} =\frac{\tau_c}{\tau_i} ]

Assim,

[ St=\frac{1}{Sr} ]

Ambas as definições descrevem a mesma física. O requisito fundamental é declarar qual convenção está sendo usada antes de interpretar um valor como “grande” ou “pequeno”.

O comprimento e a velocidade característicos

O resultado depende diretamente dos valores selecionados de (L) e (U). O diâmetro do tubo pode ser apropriado para um escoamento interno em tubulação, enquanto o diâmetro do impulsor, o comprimento de passagem da pá ou a escala da zona de mistura podem ser mais apropriados para um recipiente agitado.

Para sistemas fortemente pulsáteis, use velocidades de pico representativas ou velocidades específicas do ciclo, além da velocidade média. Um valor baseado na média pode ocultar intervalos curtos nos quais a inércia se torna importante.

Avalie o Escoamento Inercial

Compare a perturbação com a convecção

Para escoamentos com inércia significativa, o comportamento de estado quase estacionário exige

[ \tau_i \gg \tau_c ]

ou, usando a convenção de Strouhal baseada na escala de tempo,

[ \frac{1}{Sr}\ll 1 ]

De forma equivalente, usando a definição convencional,

[ St\ll 1 ]

O fluido então atravessa ou se ajusta à região relevante do escoamento muito mais rapidamente do que as condições de contorno se modificam. Em cada instante, o campo de velocidades pode frequentemente ser aproximado pela solução estacionária correspondente à vazão instantânea.

Interprete o resultado fisicamente

Se (St) for pequeno, a variação da vazão de uma bomba alternativa será lenta do ponto de vista do fluido. Os campos de pressão e velocidade terão tempo para acompanhar a condição de contorno variável com relativamente pouca defasagem.

Se (St) se aproximar da unidade ou se tornar maior, a aceleração local e o transporte retardado de momento não poderão mais ser ignorados. Será necessário um modelo totalmente transiente ou, pelo menos, uma correção para o escoamento não estacionário.

Considere o número de Reynolds

O número de Reynolds é

[ Re=\frac{UL}{\nu} ]

Ele indica se predominam os efeitos inerciais ou viscosos, mas não determina, por si só, se o escoamento é quase estacionário. Um escoamento com alto número de Reynolds ainda pode ser quase estacionário se sua perturbação for suficientemente lenta, e um escoamento com baixo número de Reynolds ainda pode ser não estacionário se for submetido a uma perturbação rápida.

Os dois grupos adimensionais respondem a perguntas diferentes:

• (Re) compara a inércia com a viscosidade.
• (St) ou (Sr) compara a escala de tempo imposta com a escala de tempo convectiva.

Avalie o Escoamento Rastejante ou Viscoso

Compare a perturbação com a difusão viscosa

Para (Re\ll1), o critério apropriado é

[ \tau_i\gg\tau_v ]

Usando a definição de Strouhal baseada na escala de tempo,

[ \frac{\tau_v}{\tau_i}

\frac{Re}{Sr} \ll1 ]

Isso significa que a difusão viscosa do momento é rápida em comparação com a mudança imposta.

Nessas condições, a derivada temporal da velocidade nas equações de Stokes não estacionárias é pequena em relação ao termo viscoso. O campo de velocidades responde quase instantaneamente à variação do gradiente de pressão ou do movimento do contorno.

Use a escala local

O critério viscoso é sensível a (L^2). Aplicar uma escala de comprimento do recipiente a um escoamento em uma folga estreita pode superestimar significativamente o tempo de resposta, enquanto usar a largura da folga para um processo de circulação em todo o recipiente pode subestimá-lo.

Para plantas-piloto, avalie regiões separadas quando necessário:

• Tubulações estreitas ou canais de membrana.
• Folgas do agitador e camadas-limite.
• Meios porosos ou leitos recheados.
• Zonas de circulação em escala de todo o recipiente.

A região relevante mais lenta frequentemente controla se uma aproximação completa de estado quase estacionário é aceitável.

Aplique o Teste a Operações Pulsáteis

Bombas alternativas

Para uma bomba alternativa, calcule a frequência dominante e a variação da velocidade ao longo de um ciclo. Avalie (St=fL/U) usando tanto a velocidade média quanto a velocidade de pico quando a forma de onda for fortemente assimétrica.

Um (St) pequeno favorece o tratamento do escoamento como uma sequência de estados estacionários. Um valor maior indica que a aceleração da bomba, a inércia do fluido, a flexibilidade da linha e a propagação de ondas de pressão podem precisar ser modeladas explicitamente.

Agitadores oscilantes

Para um agitador oscilante, a frequência característica pode ser a frequência de oscilação ou a frequência de passagem das pás. O comprimento característico pode ser o diâmetro do agitador, a escala da pá ou a dimensão local da zona de mistura, dependendo da questão estudada.

Um recipiente pode ser quase estacionário em sua circulação global e, ao mesmo tempo, permanecer não estacionário próximo ao impulsor, aos defletores ou à superfície livre. Portanto, não se deve presumir que um único número de Strouhal global represente todas as regiões.

Formas de onda multifrequenciais

Uma forma de onda periódica pode conter uma frequência fundamental e vários harmônicos. Como

[ St_n=\frac{n f L}{U} ]

o harmônico de ordem (n) tem um número de Strouhal (n) vezes maior que o da frequência fundamental.

O harmônico dinamicamente significativo de maior ordem deve ser verificado. Caso contrário, uma forma de onda pode parecer quase estacionária com base em seu período médio, enquanto suas transições mais abruptas permanecem genuinamente não estacionárias.

Relacione o Critério às Medições

Compare a defasagem prevista e observada

Um modelo de estado quase estacionário prevê que pressão, vazão e concentração respondam quase em fase com o sinal operacional imposto.

Uma defasagem, uma ultrapassagem ou uma atenuação mensurável indica que o tempo de resposta relevante não é desprezível. Essas observações são especialmente úteis para validar as escalas de comprimento e velocidade selecionadas.

Verifique a repetibilidade entre ciclos

Uma forma de onda repetível não significa automaticamente que o escoamento seja quase estacionário. Um sistema pode ter uma solução periódica estável que ainda permaneça fortemente não estacionária.

Use a repetibilidade para estabelecer a operação periódica e, em seguida, use (St), (Re/Sr), dados de pressão e medições locais de velocidade para determinar se cada fase pode ser aproximada por um estado estacionário.

Separe a dinâmica do fluido dos efeitos da instrumentação

Medidores de vazão e sensores de pressão podem introduzir seus próprios atrasos de resposta. Portanto, a defasagem medida pode refletir o instrumento, o fluido ou ambos.

A resposta do instrumento deve ser caracterizada antes de usar comparações de fase para rejeitar ou aceitar um modelo de estado quase estacionário.

Entenda os Compromissos

Um único limite não é universal

Termos como “muito maior que” e “muito menor que” são critérios de engenharia, não constantes universais. O limite aceitável depende da precisão necessária, da grandeza a ser prevista e da sensibilidade do equipamento aos efeitos transientes.

Uma estimativa aproximada da velocidade em estado quase estacionário pode tolerar uma contribuição não estacionária maior do que um cálculo de perda de pressão, tempo de residência, mistura ou carga estrutural.

Os números de Strouhal de desprendimento de vórtices têm finalidade diferente

A relação complementar de desprendimento de vórtices

[ St=\frac{fd}{V} ]

é útil para caracterizar a separação periódica em torno de uma obstrução e para interpretar medidores de vazão por desprendimento de vórtices. Valores próximos de (0.21) em um regime subcrítico amplo podem ajudar a identificar o comportamento de desprendimento e os riscos de ressonância.

No entanto, esse número de Strouhal não deve ser confundido com o critério de perturbação em relação à convecção usado na modelagem de estado quase estacionário. Em uma planta-piloto, o desprendimento de vórtices pode gerar uma frequência adicional que deve ser verificada, mas seu valor, por si só, não comprova que o processo geral seja quase estacionário.

A ressonância estrutural pode continuar sendo importante

Um escoamento pode ser suficientemente lento para um modelo de fluido quase estacionário e, ainda assim, excitar tubulações ou componentes internos de colunas próximos a uma frequência natural estrutural.

A simplificação hidrodinâmica e a segurança estrutural são verificações distintas. As frequências da perturbação periódica e do desprendimento de vórtices devem ser comparadas com as frequências de ressonância do equipamento quando a vibração for uma preocupação.

Outros mecanismos transientes podem dominar

O teste de escala de tempo não substitui as verificações de compressibilidade, interação fluido-estrutura, flexibilidade da linha da bomba, cavitação ou transientes de transferência de espécies e calor.

Para sistemas líquidos com linhas longas ou efeitos significativos de ondas de pressão, as escalas de tempo acústicas ou de ondas hidráulicas podem ser mais relevantes do que (L/U) isoladamente.

Faça a Escolha Certa para o Seu Objetivo

Comece calculando (Re), (St=fL/U) e a razão de tempo de resposta relevante usando escalas locais e específicas do ciclo.

• Se seu foco principal for a previsão da velocidade ou da pressão global: Use um modelo de estado quase estacionário quando (St\ll1) para escoamento inercial, ou (Re/Sr\ll1) para escoamento rastejante, e valide-o com medições de defasagem.
• Se seu foco principal for mistura, tempo de residência ou transferência de massa: Avalie o tempo de transporte relevante mais longo e o harmônico significativo de maior frequência, em vez de depender de valores médios do recipiente.
• Se seu foco principal for vibração ou integridade do equipamento: Calcule separadamente as frequências da perturbação e do desprendimento de vórtices e compare-as com as frequências naturais estruturais, mesmo quando o modelo do fluido parecer quase estacionário.
• Se seu foco principal for a previsão transiente de alta fidelidade: Mantenha os termos não estacionários sempre que (St) não for pequeno, (Re/Sr) não for pequeno em escoamento viscoso ou as medições mostrarem defasagem significativa e distorção da forma de onda.

Um escoamento só é quase estacionário quando seu tempo de resposta relevante é comprovadamente menor que a escala de tempo da operação imposta.

Tabela Resumida:

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